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15 julho 2013



Definição:


Denomina-se matriz mxn (m, n ∈ ℕ*) a uma tabela formada por m.n elementos dispostos em m LINHAS e n COLUNAS.


Exemplos

A=$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 4 & 3\end{pmatrix}$

B=$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 4 & 3\end{pmatrix}$

ATENÇÃO:
LINHA: FILA HORIZONTAL.
COLUNA: FILA VERTICAL.
ORDEM DA MATRIZ: NO DE LINHAS X NO DE COLUNAS  


A matriz abaixo é de ordem 3x2:


$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 4 & 3\end{pmatrix}$

II. MATRIZ GENÉRICA
É uma matriz que representa, de forma geral, todas as matrizes de mesma ordem que a sua.
Cada elemento da matriz genérica é representado por uma letra minúscula acompanhada de dois índices, que indicam, respectivamente, a linha e a coluna onde o elemento se situa. Representando, genericamente uma matriz de ordem 3x3, temos:

$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}$


onde:
aij$\begin{pmatrix} i:\, número\,de\, linhas\\ j:\,número\,de\,colunas\end{pmatrix}$

Nas matrizes A e B, indicadas como exemplo do item I, temos: 

$a_{11}=1$
$a_{12}=4$

III.IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, possuem a mesma ordem e todos os elementos de posições correspondentes iguais.
Exemplo:
 
$\begin{pmatrix} a&3 \\ 2&b\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix} 1&d \\4&c\end{pmatrix}$

TESTES DE SALA

01. (UFBA-Adaptada) Seja a matriz $A = (a_{ij})_{3x4}$, onde cada $a_ij = (i + j)^2$. Calcule a soma de todos os elementos de A.

02. (UCSal) Seja a matriz $A = (a_{ij})_{3x3}$, definida por:


aij $\begin{cases}\sqrt i,&\text{se i < j.}\\ i^i,&\text{i=j.}\\ j^{-1}&\text{se i > j}
\end{cases}$

Nessas condições, o produto de todos os elementos da matriz A, é igual a:

a) $4\sqrt 2$.
b) 27.
c) $27\sqrt 2$.
d) 54.
e) $54\sqrt 2$.

03. Dadas as matrizes A e B, abaixo, e sabendo-se que A = B, determine x + y – z + w.

$A=\begin{pmatrix} {2x+y}&1 \\ -6&0\\{x+y}&-3\end{pmatrix}$$\,{e}\,$$B=\begin{pmatrix}5&1 \\ {x+z}&0\\4&{w+y}\end{pmatrix}$


IV.MATRIZES ESPECIAIS

a) MATRIZ LINHA: É a matriz que possui uma única linha.

Exemplo:
$A=\begin{pmatrix}3&5&2&-1\end{pmatrix}_{1x4}$


b) MATRIZ COLUNA: É a matriz que possui uma única coluna.

Exemplo:

$B=\begin{pmatrix}1 \\ 5\\4\\-7\end{pmatrix}_{4x1}$

c) MATRIZ NULA: É a matriz em que todos os seus elementos são nulos.

Exemplo:
$O=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0\\0&0\end{pmatrix}_{3x2}$


d) MATRIZ QUADRADA: É toda matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Quando a matriz for do tipo nxn, diz-se que é uma matriz quadrada de ordem n.
Exemplo:

DIAGONAL PRINCIPAL (D.P.): i = j.
DIAGONAL SECUNDÁRIA (D.S.): i + j = n + 1.
ORDEM DA MATRIZ: n.

e) MATRIZ IDENTIDADE OU UNITÁRIA: É uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.


Exemplos:

 $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}_{2x2}$

$I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}_{3x3}$

f) MATRIZ TRANSPOSTA: A transposta de uma matriz M é a matriz $M^T$, que se obtém permutando, ordenadamente, as linhas pelas colunas.

Exemplo:

$M=\begin{pmatrix}4&8\\3&-1\\6&7\end{pmatrix}_{3x2}$

 $M^T=\begin{pmatrix}4&3&6\\8&-1&7\end{pmatrix}_{2x3}$

NOTE QUE: ${(M^T)}^T = M$

g) MATRIZ OPOSTA: Chama-se matriz oposta de A, e representa-se por –A, à matriz que se obtém de A trocando-se o sinal de cada um de seus elementos.

Exemplo:
$A=\begin{pmatrix}1&-9\\-6&7\end{pmatrix}_{2x2}$


$-A=\begin{pmatrix}-1&9\\6&-7\end{pmatrix}_{2x2}$

h) MATRIZ SIMÉTRICA: Uma matriz quadrada é simétrica se ela for igual à sua transposta. Na matriz simétrica os elementos colocados simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.

Exemplo:

$A=\begin{pmatrix}5&1&2\\1&3&4\\2&4&0\end{pmatrix}_{3x3}$

$A^T=\begin{pmatrix}5&1&2\\1&3&4\\2&4&0\end{pmatrix}_{3x3}$



$\color{Red}{\boxed{\color{Blue}{A=A^T\leftrightarrow a_{ij}=a_{ji}}}}$

 IMPORTANTE:

MATRIZ SIMÉTRICA: $A=A^T$.

MATRIZ OPOSTA DE A (SIMÉTRICA DA MATRIZ A): -A.

i) Uma matriz MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA: quadrada é antisimétrica se ela for igual à oposta de sua transposta. Na matriz anti-simétrica os elementos colocados simetricamente em relação à diagonal principal são opostos e todos os elementos da diagonal principal são nulos.


Exemplo:

$A=\begin{pmatrix}0&1&-2\\-1&0&4\\2&-4&0\end{pmatrix}_{3x3}\rightarrow A^T=\begin{pmatrix}0&-1&2\\1&0&-4\\-2&4&0\end{pmatrix}_{3x3}$

$A^T=\begin{pmatrix}0&1&-2\\-1&0&4\\2&-4&0\end{pmatrix}_{3x3}$


$\color{Red}{\boxed{\color{Blue}{A = -A^t\leftrightarrow a_{ij}=-a_{ji}}}}$



V. OPERAÇÕES COM MATRIZES(estamos em construção)

a) ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO: para adicionar ou subtrair matrizes, de mesma ordem, deve-se efetuar a referida operação com os elementos das posições correspondentes.

Exemplo:



 $\color{Blue}A=\begin{pmatrix}0&-4\\2&3\\3&4\end{pmatrix}_{3x2}$

 $\color{Blue}B=\begin{pmatrix}0&-4\\2&3\\2&7\end{pmatrix}_{3x2}$

 $\color{Blue}C=\begin{pmatrix}0&-4\\2&3\end{pmatrix}_{2x2}$

Solução

A + B =$\color{Red}{\begin{pmatrix}0&-4\\2&3\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-4\\2&3\\2&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0+0&-4-4\\2+2&3+3\\3+2&4+7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-8\\4&6\\5&11\end{pmatrix}}$

A - B =$\color{Red}{\begin{pmatrix}0&-4\\2&3\\3&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&-4\\2&3\\2&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-0&-4-(-4)\\2-2&3-3\\3-2&4-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\1&-3\end{pmatrix}}$


NOTE QUE: A operação (A + C) NÃO está definida.

Atenção!!!
Isso é muito importante.

PROPRIEDADES:

A + B = B + A.
(A + B) + C = A + (B + C).
A + O = O + A.
A + (-A) = O.

b) MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR POR UMA MATRIZ: Para multiplicar um escalar por uma matriz, deve-se multiplicar todos os elementos da matriz pelo escalar.

Exemplo:


$A=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$
Solução
 $2A=\color{Red}{2.\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2.2&2.3\\2.4&2.5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&6\\8&10\end{pmatrix}}$

$\frac{A}{7}=\color{Red}{\frac{1}{7}.\begin{pmatrix}14&28\\7&35\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{14}{7}&\frac{28}{7}\\ \frac{7}{7}&\frac{35}{7}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\1&5\end{pmatrix}}$

NOTE QUE: Sendo A, B e X matrizes de mesma ordem, se X + A = B, então X = B - A.

TESTES DE SALA

04. (UCSal) Se a matriz a seguir é simétrica, então x + y + z é igual a:


$A=\begin{pmatrix}2&-1&2y\\x&0&z-1\\4&3&2\end{pmatrix}$

a) -2.
b) -1.
c) 1.
d) 3.
e) 5.

05. (UNEB) Sejam as matrizes $A = (a_{ij})_{3x2}$ e $B = (b{ij})_{3x2}$ definidas por $a_{ij}= {i + j}$, se i ≠ j e $a_{ij} = 1$, se i = j e $b_{ij}= 0$, se i ≠ j e $b_{ij}={ 2i – j}$, se i = j. Então A + B é igual a:

 a) $\begin{pmatrix}1&3\\2&2\\4&0\end{pmatrix}$

b) $\begin{pmatrix}4&5\\2&3\\2&2\end{pmatrix}$

c) $\begin{pmatrix}2&3\\3&3\\4&5\end{pmatrix}$

d) $\begin{pmatrix}2&1\\1&6\\1&1\end{pmatrix}$

e) $\begin{pmatrix}1&4\\3&3\\4&5\end{pmatrix}$

06. (UFBA-Adaptada) Se $M=\begin{pmatrix}x&8\\10&y\end{pmatrix}$,  $N=\begin{pmatrix}y&6\\12&x+4\end{pmatrix}$, $P=\begin{pmatrix}7&16\\23&13\end{pmatrix}$ e $\frac{3M}{2}+\frac{2N}{3}=P$. Calcule o valor de y + x.



07. Sabendo-se que $2X – A = B^T$, determine a matriz X, sendo
$A=\begin{pmatrix}3&-7\\-1&4\\7&4\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}9&3&-2\\-5&0&7\end{pmatrix}$

c) MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES: O produto entre duas matrizes, quando possível, é a matriz cujos elementos são obtidos fazendo o produto interno das linhas da 1ª  matriz pelas colunas da 2ª matriz.

Exemplo: Sejam: $A =\begin{pmatrix}5&1\\2&0\end{pmatrix}_{2x2}$ e $B=\begin{pmatrix}1&6&3\\1&3&3\end{pmatrix}_{2x3}$

Calculando o produto A.B, encontraremos:

$A.B =\begin{pmatrix}\color{Red}\rightarrow5&1\color{green}\rightarrow\\\color{Red}\rightarrow2&0\color{green}\rightarrow\end{pmatrix}_{2x2}$. $\begin{pmatrix}\color{Red}\downarrow 1&\color{Red}\downarrow 6&\color{Red}\downarrow 3\\\color{green}\downarrow 1&\color{green}\downarrow3&\color{green}\downarrow3\end{pmatrix}_{2x3}$


$A.B=\color{Red}{\begin{pmatrix}(5.1)+(1.1)&(5.6)+(1.3)&(5.3)+(5.1)\\(2.1)+(0.1)&(2.6)+(0.3)&(2.3)+(0.3)\end{pmatrix}}$
$=\color{Red}{\begin{pmatrix}5+1&30+3&15+5\\2+0&12+0&6+0\end{pmatrix}}$

=$\color{Red}{\begin{pmatrix}6&33&18\\2&12&6\end{pmatrix}_{2x3}}$

09. (UNEB) Sabendo-se que as funções horárias de dois corpos que se deslocam em movimentos retilíneos uniformes, segundo uma mesma trajetória, são definidas matricialmente por $\begin{pmatrix}2&5\\-3&5\end{pmatrix}$.$\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}16\\6\end{pmatrix}$, pode-se afirmar
que esses corpos se encontrarão no instante t igual a:

a) 4,6 segundos.
b) 3,8 segundos.
c) 3,5 segundos.
d) 2,4 segundos.
e) 2,0 segundos.

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2 comentários:

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____________________________________________


α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ

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