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04 setembro 2013




PS1 - 1º dia
01. Uma pessoa ingere uma certa substância que se concentra em seu cérebro. O gráfico a seguir mostra essa concentração em função do tempo t.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_2
Admitindo que a concentração y seja dada por uma função quadrática y = at2 + bt + c, é correto afirmar que a) a > 0 e b2 - 4ac > 0.
b) a > 0 e b2 - 4ac < 0.
c) a < 0 e b2 - 4ac > 0.
d) a < 0 e b2 - 4ac < 0.
e) a ≠ 0 e b2 - 4ac = 0.
Resolução:
A concavidade da parábola depende do sinal do coeficiente a da função.
Para o gráfico ter concavidade voltada para baixo, como mostra a figura, o coeficiente de t2 deve ser negativo, ou seja, a < 0.
Como a parábola intercepta o eixo x (abscissas) em dois pontos distintos (que representam suas raízes) o Δ = b2 - 4ac deve ser positivo, ou seja, Δ = b2 - 4ac > 0.
Logo, a alternativa correta é a letra c.

02. Um estudo com um grupo de vestibulandos indica que a função f(t) = 9e-t/3 + 1, com t ≥ 0, é a quantidade do conteúdo de Geometria que um aluno consegue relembrar decorridas t semanas após o estudo. A função g, que expressa o tempo t em função da quantidade de conteúdo que o aluno consegue relembrar, é a inversa da função f e é dada por
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_3
Resolução:
A função f(t) = 9e-t/3 + 1 é igual y = 9e-t/3 + 1. Assim, para determinar a inversa, devemos inicialmente isolar o valor de t:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_4
Podemos aplicar logaritmo neperiano em ambos os membros:
ufsm_2011_figura_corregida
Devemos trocar y por t e t por y. Logo:
Ufsm-2011_Modo_de_Compatibilidade_-_Microsoft_Wordcerto
A questão pede a função g (inversa de f), que expressa o tempo t em função da quantidade de conteúdo f(t). Logo, devemos salientar que o x que aparece nas alternativas é o f(t), ou seja, a quantidade de conteúdo que o aluno consegue relembrar ocorrido t semanas. Assim sendo, podemos dizer que:
Ufsm-2011_Modo_de_Compatibilidade_-_Microsoft_Word_certo1
Verifique que no t = 0, temos f(t) = 10 conteúdos de Geometria que o aluno relembra (basta substituir na função f dada). Se substituirmos x = f(t) = 10 na função inversa de f, temos o g(x) = t = 0.
Alternativa correta é a letra A.

03. Sabe-se que a prática regular de esportes melhora o aprendizado escolar. O gráfico a seguir representa o resultado de uma pesquisa realizada junto a um grupo de 1500 alunos do ensino médio, com quem foi feito um levantamento a respeito do esporte praticado regularmente.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_8
De acordo com a pesquisa, se x é o número de alunos do ensino médio que pratica apenas vôlei, então:
a) x é maior que 150.
b) x pertence ao domínio da função f(x) = 5/(3x - 315)
c) x ε [-100, 200] ∩ [100, 300].
d) x é igual a 195.
e) x satisfaz a equação (x - 105) (x - 195) + 5 = 0.
Resolução:
De acordo com o gráfico de setores, vemos que 7% praticam apenas vôlei. O total de alunos a respeito de esporte praticado regularmente é 1500. Assim, 7% de 1500 é:
1500.0,07 = 105 alunos.
Analisando as alternativas dadas, notamos que a correta é a letra c. Veja abaixo:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_10
O valor de x = 105 pertence ao intervalo [100, 200].

04. O gráfico a seguir mostra a evolução das notas em Matemática de dois grupos de estudantes, denominados grupo I e grupo II.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_11
Analisando o gráfico e considerando o período de 2007 a 2010, é possível afirmar:
a) Os dois grupos melhoraram as notas.
b) A nota do grupo I, em 2008, foi 80.
c) A nota do grupo I aumentou de 2008 a 2009 e diminuiu de 2009 a 2010.
d) A nota do grupo II não sofreu alteração.
e) A nota do grupo I aumentou, enquanto a nota do grupo II diminuiu.
Resolução:
Analisando as alternativas e observando o gráfico, verificamos que o gráfico do grupo 1 aumenta, enquanto que o do grupo II.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_12
Alternativa correta é a letra E.

05. Em relação ao gráfico da questão anterior, considerando 2007 como x = 1, 2008 como x = 2 e assim, sucessivamente, a função afim y = ax + b que melhor expressa a evolução das notas em Matemática do grupo II é
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_13
Resolução:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_14
Temos dois pontos visíveis da reta referente evolução das notas do grupo II que são:
(1, 70) onde no eixo x temos o tempo em anos, em que 2007 representa x = 1 e a nota 70 no eixo y.
(3, 65), onde o ano de 2009 é x = 3 e a nota é o y = 65.
A função afim é do tipo y = ax + b. Assim:
(1, 70)   →  70 = a.1 + b  (I)
(3, 65)   →  65 = a.3 + b (II)
Agora, precisamos resolver o sistema formado pelas equações (I) e (II):
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_15
Multiplicando a eq. (I) por -1 e somando com a (II) e resolvendo, temos:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_16
Portanto, a lei de formação da evolução da notas em Matemática do grupo II é
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_17
Alternativa correta é a letra B.

PS2 - 2º dia
01.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_18
O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado ecossistema. As setas indicam a espécie de que a outra espécie se alimenta.
Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a seguinte tabela:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_19
A matriz A=(aij)4x4 , associada à tabela, possui a seguinte lei de formação:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_20
Resolução:
Genericamente, a matriz é representada por A = (aij)4x4, em que 1 ≤ i ≤ 4, onde i indica a linha que o elemento ocupa, e 1 ≤ j ≤ 4, onde j indica a coluna que o elemento ocupa. Assim, a matriz A associada à tabela é:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_21
Veja que quando i j, o elemento correspondente a sua posição vale zero e, quando i < j, o elemento vale 1. Logo, a lei de formação da tabela é o da alternativa c.

02.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_22
O gráfico mostra a quantidade de animais que uma certa área de pastagem pode sustentar ao longo de 12 meses. Propõe-se a função Q(t) = a sen (b + ct) + d para descrever essa situação. De acordo com os dados, Q (0) é igual a
a) 100.
b) 97.
c) 95.
d) 92.
e) 90.
Resolução:
Na função dada Q(t) = a sen (b + ct) + d, iremos determinar os parâmetros a, b, c e d, para podermos descobrir o Q(0).
A imagem da função é o intervalo [20, 120] e o período é 12.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_26
O período é dado por
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_27
Assim:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_28
Temos também -1 ≤ sen(b + ct) ≤ 1, onde o valor máximo da função Q(t) é igual a 120 e o valor mínimo é 20. No valor máximo da função Q(t), temos o valor máximo de sen(b + ct), que é 1, no valor mínino da função Q(t), temos o valor mínimo de sen(b + ct), que é -1. Logo:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_29
Adicionando as equações e resolvendo, temos a = 50 e d = 70 (*).
Bem, já encontramos os parâmetros a, c e d, com a função assim definida: Q(t) = 50 sen (b + πt/6) + 70.
Falta determinarmos o b. Para isso, podemos utilizar o ponto (2, 120) e substituir na função. Portanto:
120 = 50sen(b + π.2/6) + 70  →  120 - 70 = 50sen(b + π/3)   →  50 = 50sen(b + π/3)    →   1 = sen(b + π/3).
Como sen π/2 = 1, podemos fazer:
Sen π/2 = sen(b + π/3)    →     π/2 = b + π/3      →    b = π/6.
Portanto, a função fica:
Q(t) = 50 sen (π/6 + πt/6) + 70.
Queremos Q(0). Logo:
Q(0) = 50 sen (π/6 + π.0/6) + 70   →   Q(0) = 50 sen (π/6) + 70
Q(0) = 50.1/2 + 70    →   Q(0) = 25 + 75   →   Q(0) = 95
(*) Esta técnica para encontrar a e d é prática, mas perigosa. Observe que o coeficiente a representa a amplitude da função dada. Esta amplitude pode ser negativa ou positiva. O gráfico abaixo em vermelho possui a amplitude positiva (a = 50); enquanto que o gráfico em azul, a amplitude é negativa (a = -50). No caso do gráfico em azul, com ele é simétrico em relação à reta y = 70, teríamos o valor mínimo da função (20) para o valor máximo de sen (b + ct), que é igual a 1 e o valor máximo da função (120) para o valor mínimo de sen (b + ct), que é igual a -1.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_30

03. A natureza tem sua própria maneira de manter o equilíbrio. Se uma comunidade fica grande demais, é, muitas vezes, reduzida por falta de comida, por predadores, seca, doença ou incêndios.
Uma certa reserva florestal sofreu um incêndio. Na primeira hora, teve 1 km2 de sua área queimado e, a cada hora subsequente, foi destruído pelo fogo o triplo da área em relação à hora anterior. Supondo que esse processo se mantenha, quantos km2 da reserva serão queimados decorridas k horas do início do incêndio?
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_23
Resolução:
Temos uma progressão geométrica (1, 3, 9, ...), em que:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_31

04. Em uma determinada região do mar, foi contabilizado um total de 340 mil animais, entre lontras marinhas, ouriços do mar e lagostas. Verificou-se que o número de lontras era o triplo do de ouriços e que o número de lagostas excedia em 20 mil unidades o total de lontras e ouriços. Pode-se dizer que o número de ouriços dessa região é
a) 30mil.
b) 35 mil.
c) 40 mil.
d) 45 mil.
e) 50 mil.
Resolução:
x → quantidade, em milhares, de lontras marinhas.
y → quantidade, em milhares, de ouriços.
z → quantidade, em milhares, de lagostas.
O total de lontras marinha, ouriços e lagostas é igual a 340 mil. Logo,
x + y + z = 340. (eq. I)
Como o número de lontras é o triplo de ouriços, temos:
x = 3y (eq. II)
Como o número de lagosta excede em 20 mil a soma de lontras e ouriços, temos:
z = 20 + x + y (eq. III)
Vamos substituir a eq. II na eq. III. Assim:
z = 20 + 3y + y  → z = 20 + 4y (eq. IV)
Substituindo a eq. II e IV na eq. I, temos:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_32
Como é pedido a quantidade de ouriços, a alternativa correta é a letra C.

05. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_24
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo  mede 45º e o ângulo ufsm2011-54 mede 75°. Uma maneira de estimar
quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_25
Resolução:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_33
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, podemos concluir que o ângulo B é igual a 60°. Utilizando a lei dos senos, temos:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_34

PS3 - 3º dia
01. A prefeitura, responsável pela iluminação pública de uma cidade, trocou 40% das luminárias por outras mais eficientes. Decorrido um ano da troca, verificou que 2% das novas luminárias e 6% das luminárias antigas apresentaram defeito. Qual é a porcentagem das luminárias da cidade que apresentaram defeito nesse período?
a) 3,2%.
b) 4,4%.
c) 5,6%.
d) 6,8%.
e) 8,0%.
Resolução: Como foi trocado 40% das luminárias (novas), concluímos que ficou 60% (antigas).
2% das luminárias novas apresentaram defeito. Portanto, temos que calcular 2% de 40%. Logo:
0,02.0,40 = 0,008 ou 0,8%
6% das luminárias antigas apresentaram defeito. Portanto, temos que calcular 6% de 60%. Logo:
0,06.0,60 = 0,036  ou 3,6%
O percentual total que apresentou defeito é 0,8% + 3,6% = 4,4%.


02. Uma luminária foi instalada no ponto C(-5, 10). Sabe-se que a circunferência iluminada por ela é tangente à reta que passa pelos pontos P(30, 5) e Q(-30, -15). O comprimento da linha central do passeio correspondente ao eixo y, que é iluminado por essa luminária, é
a) 10 m.
b) 20 m.
c) 30 m.
d) 40 m.
e) 50 m.
Resolução:
Vamos desenhar a circunferência centrada no ponto C(-5, 10), onde está localizada a luminária. Esta circunferência é tangente a reta que passa pelos pontos P(30, 5) e Q(-30, -15).
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_35

Vamos encontrar o raio da circunferência. Para isso, é necessário determinarmos a equação da reta que passa pelos pontos P(30, 5) e Q(-30, -15). Assim, podemos fazer:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_36
20x - 60y - 300 = 0    (÷20)     →      x - 3y - 15 = 0
Note que o raio forma com a reta tangente, no ponto de tangência, um ângulo de 90º. Logo, podemos calcular o raio utilizando a fórmula da distância entre ponto e reta.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_37
onde d é a distância do ponto C(xc, yc) até a reta Ax + By + C = 0. No caso estudado, a distância é o raio da circunferência.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_38
Racionalizando o denominador, temos, Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_39
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_40
É pedido o comprimento da linha central do passeio correspondente ao eixo y. Isso significa encontrar a corda AB (veja desenho acima). Para isso, precisamos inicialmente determinar a equação da circunferência, com centro (-5, 10) e raio Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_39 Vamos usar a equação reduzida da circunferência: (x - a)2 + (y - b)2 = R2, onde a e b são as coordenadas do centro. Assim:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_41
Note que o eixo y possui como equação x = 0. Para encontrar os dois pontos A e B, basta substituir x = 0 na equação da circunferência, visto que, esses pontos pertencem à circunferência e ao eixo y. Logo:
(0 + 5)2 + (y - 10)2 = 250    →   25 + y2 - 20y + 100 - 250 = 0   →  y2 - 20y - 125 = 0
Resolvendo a equação, temos y1 = -5 e y2 = 25. Portanto:
A(0, -5) e B(0, 25)
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_50
Logo AB = 25 - (-5) = 30.
Alternativa correta é a letra C.
Obs.: A unidade de comprimento metro que aparece nas alternativas é um suposição. Não é mencionada nenhuma unidade no enunciado da questão. De qualquer maneira, é razoável, pelo contexto da situação, que seja em metros.

03. Na iluminação da praça, três novas luminárias são instaladas do seguinte modo: uma dessas luminárias é instalada na bissetriz do primeiro quadrante; a distância de cada uma delas ao ponto de encontro das linhas centrais dos dois passeios é 20 metros; a distância entre cada par dessas luminárias é a mesma. Quais números complexos a seguir representam os pontos onde foram instaladas as três luminárias?
a) Z1 = 20(cos π/4 + i sen π/4); Z2 = 20(cos 11π/12 + i sen 11π/12); Z3 = 20(cos 19π/12 + i sen 19π/12)
b) Z1 = 20(cos π/4 + i sen π/4); Z2 = 20(cos π/6 + i sen π/6); Z3 = 20(cos 2π/3 + i sen 2π/3)
c) Z1 = cos π/4 + i sen π/4; Z2 = cos 11π/12 + i sen 11π/12; Z3 = cos 19π/12 + i sen 19π/12
d) Z1 = cos π/3 + i sen π/3; Z2 = cos π/12 + i sen π/12; Z3 = cos 2π/3 + i sen 2π/3
e) Z1 = 20(cos π/3 + i sen π/3); Z2 = 20(cos π + i sen π); Z3 = 20(cos 5π/6 + i sen 5π/6)
Resolução:
A luminária L1 pertence à bissetriz do 1º quadrante, que possui ângulo de 45°. Este ângulo representa o argumento (θ1 = 45° = π/4 ).
Pela informação dada no texto da questão, temos os módulos dos complexos L1, L2 e L3 iguais entre si de valor 20 metros (ρ = 20).
Na figura abaixo, temos o triângulo L1L2L3 é eqüilátero, pois a distância entre cada par de luminárias é a mesma. Logo, o ângulo central do triângulo é 120° (360°/n, onde n é o número de lados do polígono; no caso, n = 3).
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_51
O argumento de L2 é 45° + 120° = 165°. Passando para radianos, temos θ2 = 11π/12.
O argumento de L3 é 165° + 120° = 285°. Passando para radianos, temos θ3 = 19π/12.
Escrevendo na forma trigonométrica (Z = ρ(cos θ + i sen θ), temos:
L1 = Z1 = 20(cos π/4 + i sen π/4)
L2 = Z2 = 20(cos 11π/12 + i sen 11π/12)
L3 = Z3 = 20(cos 19π/12 + i sen 19π/12)
Alternativa correta é a letra A.

04. Três lâmpadas com resistências R1, R2 e R3 são ligadas num circuito em paralelo. Sabe-se que a resistência total R do circuito é
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_46
Suponha que cada uma dessas lâmpadas teve sua resistência alterada para R1 + x, R2 + x e R3 + x. Assim, a resistência total é função de x. Sendo
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_45
a expressão da resistência total de x, é possível afirmar:
I. a3 = b2
II. a1 = b0
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_44
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
Resolução:
Devemos substituir na expressão
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_46
R1 por R1 + x, R2 por R2 + x e R3 por R3 + x.
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_47
Igualando R com R(x), temos:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_48
Veja que:
a3 = 1 e b2 = 3. Logo, a 1ª afirmativa é errada, pois a3 NÃO é igual a b2.

a1 = R1R2 + R1R3 + R2R3
b0 = R1R2 + R1R3 + R2R3
Logo, a1 = b0. Logo, a 2ª afirmativa é correta.

R1 + R2 + R3 = a2 (I)
2R1 + 2R2 + 2R3 = b1 →  b1 = 2(R1 + R2 + R3)     (II)
Substituindo (I) em (II), temos:
b1 = 2a2 →  a2 = b1/2. Logo, a 3ª afirmação é correta.
Concluímos que a alternativa correta é a letra d.

05. Um fabricante decidiu produzir luminárias no formato de uma semiesfera com raio de 20 cm. A parte interior, onde será alojada a lâmpada, receberá uma pintura metalizada que custa R$ 40,00 o metro quadrado; já a parte externa da luminária receberá uma pintura convencional que custa R$ 10,00 o metro quadrado. Desconsiderando a espessura da luminária e adotando o valor de p=3,14, o custo, em reais, da pintura de cada luminária é
a) 3,14.
b) 6,28.
c) 12,56.
d) 18,84.
e) 25,12.

Resolução:
Ufsm-2011_-_Microsoft_Word_49
Para calcular o custo da pintura interna e externa é necessário calcular a área da semiesfera, internamente e externamente. Este área, tanto a interna como externa são iguais. Portanto, se calcularmos a área da esfera, teremos a área total a ser pintada. Para isto, vamos usar fórmula:
ASE = 4πR2. Como o raio vale 20 cm = 0,2 m, temos:
ASE = 4.3,14.(0,2)2 = 0,5024 m2.
Tanto a parte interior como exterior, terá a área a ser pintada, igual à metade do valor encontrado, ou seja, 0,2512 m2.
O valor do m2 a ser pintado é de R$ 40,00 na parte interna e R$ 10,00 na parte externa. Logo, o custo, em reais é:
Custo = 0,2512.40 + 0,2512.10 = 10,048 + 2,512 = R$ 12,56.
Alternativa correta é a letra C.
 
Fonte: http://www.matematica.com.br
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½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ

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