Forma Canônica da Função quadrática

Função Quadrática

Dada a função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$, podemos escrever:

$f(x)=ax^2+bx+c=a\large[x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}]$

As duas primeiras parcelas dentro dos colchetes são as mesmas do desenvolvimento do quadrado

$(x+\frac{b}{2a})^2=x^2+\bcancel{2}.x.\frac{b}{\bcancel{2}a}+\frac{b^2}{4a^2}=$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}.$

Agora vamos completar os quadrados:

$f(x)=ax^2+bx+c$

$f(x)=a\large[x^2+2.x.\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]$

ou seja,

$f(x)=ax^2+bx+c=$

$=a\large[(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac-b^2}{4a^2}]$ (forma canônica)

ou ainda

$=a\large[(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac-b^2}{4a}]$ 

Chamado de :

$m=-\frac{b}{2a}$ e $k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

Concluímos que $k=f(m).$

Assim para todo x ∈ ℝ e a≠0 podemos escrever qualquer função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c=$ da seguinte maneira:

 $f(x)=a(x-m)^2 +k$, que $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=\frac{4ac-b^2}{4a}$ (outra forma de escrever a forma canônica.

Exemplo, vamos escrever a função

 $f(x)=x^2-4x-6=$ na forma canônica.

1ª maneira

completando o quadrado:

$x^2-4x-6=(x^2-4x)-6$

$x^2-4x-6=(x^2-4x+4)-4 -6$
$x^2-4x-6=(x-2)^2-10$
logo,$f(x)=x^2-4x-6=(x-2)^2-10$.

2ª maneira

calculando $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=f(m)$ e substituindo em 

$f(x)=a(x-m)^2+k$
$f(x)=x^2-4x-6=$
dados: a=1; b=-4 e c=-6
como $m=-\frac{b}{2a}$
logo temos
$m=\frac{4}{2}=2$
agora em $k=f(m)$

$k=f(m)=2^2-4.2-6=4-8-6=4-14=-10$⇒
⇒k=-10,
portanto, $f(x)=(x-2)^2-10$

Decorrências da forma Canônica

1ª) Valor mínimo e valor máximo da função

$f(x)=ax^2+bx+c$
consideremos a função quadrática
$f(x)=3x^2-5x+2$.
nesse caso, temos : $m=\frac{5}{6}$ e 


$k=f({\frac{5}{6}})=3.({\frac{5}{6}})^2-5(\frac{5}{6})+2=-\frac{1}{12}$.


na Forma canônica é dada por.

$f(x)=3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}$
Analisando essa forma, podemos concluir que o menor valor de $f(x)$ para todo x ∈ ℝ 
 é $-\frac{1}{12}$. Isso ocorre quando $x=\frac{5}{6}$.

De modo geral, da forma canônica:
$f(x)=a(x-m)^2+k$
Concluímos que, para qualquer x ∈ ℝ:

• Se a> 0, o menor valor de $f(x)$ é $k=f(x)$;
• Se a<0, o maior valor de $f(x)$ é $k=f(m)$.

2ª Zeros da Função quadrática e raízes da equação correspondente


$f(x)= 3x^2-5x+2$⇒

⇒$f(x)=3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}$ (forma canônica)


$3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}=0$⇒$3.(x-\frac{5}{6})^2=\frac{1}{12}$⇒

$(x-\frac{5}{6})^2=\frac{1}{36}$=

$(x-\frac{5}{6})=± \frac{1}{6}$=

x'⇒ |$(x-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}$⇒$x=1$)


x'' ⇒|$(x-\frac{5}{6})=-\frac{1}{6}=\frac{4}{3}$⇒$x=\frac{2}{3}$

Logo,os zeros de $f(x)=3x^2-5x +2$ são 1 e $\frac{2}{3}$, que são também as raízes da equação

$3x^-5x+2=0$. DE modo geral, da forma canônica de

$f(x)=ax^+bx+c$, com a ≠ 0, que é $a(x-m)^2+k$ com $m=-\frac{b}{2a}$, podemos chegar à fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, as raízes da equação do 2º grau $ax^+bx+c=0$. Acompanhe as equivalências:

$ax^2+bx+c=0⇔a(x-m)^2 +k=0$

$ax^2+bx+c=0⇔a(x-m)^2=-k$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)^2=-\frac{k}{a}$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)=±\frac{√b^2-4ac}{√4a^2}$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)=±\frac{√b^2-4ac}{2a}$

$ax^2+bx+c=0⇔x=m±\frac{√b^2-4ac}{2a}$

$x=-\frac{b}{2a}±\frac{√b^2-4ac}{2a}$

$x=\frac{-b±√b^2-4ac}{2a}$ (fórmula que fornece as raízes da equação do 2º grau $ax^2+bx+c=0$.

Texto tirado do Livro Dante Matemática volume único pág 75 à 76.


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