Equação do 2º grau

Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo:

onde a, b e c são números conhecidos com a 0.

Exemplos:

1º) 2x² – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5)

2º) 5x² + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0)

3º) 4x²– 11 = 0 (a = 4, b = 0 e c = –11)

A – Resolução da equação do 2º grau

Exemplos:

1º) Resolver em R a equação:

x²-16=0

Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente b é igual a zero por isto ela é chamada de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:
x²-16=0 x²=16
x²-16=0 x = –4 ou x = +4

Assim:

2º) Resolver em R a equação:
x² + 11x = 0
Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente c é igual a zero e por isto ela é chamada, também, de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:
x² + 11x = 0 x(x + 11) = 0

x² + 11x = 0 x = 0 ou x + 11 = 0

x² + 11x = 0 x = 0 ou x = –11

Assim:

3º) Resolver em R a equação:
x² + 4x + 4 = 16
Observemos que x2 + 4x + 4 é, na sua forma fatorada, é igual a (x + 2)², então:
x² + 4x + 4 = 16 passa a ser (x + 2)² = 16
Assim:
x² + 4x + 4 = 16 (x + 2)² = 16

x² + 4x + 4 = 16 x + 2 = –4 ou x + 2 = 4

x² + 4x + 4 = 16 x = –6 ou x = 2
Assim:

4º) Resolver em R a equação:
x²– 6x + 5 = 0

Observemos que x²– 6x + 5 não é um quadrado perfeito, donde se conclui que o procedimento utilizado no exemplo anterior não poderá repetido. Não poderá ser repetido a menos que façamos algumas modificações na equação, como veremos a seguir:

x²é “o quadrado do primeiro”, 6x é “duas vezes o primeiro (que é x) pelo segundo”, logo, o segundo só poderá ser o número 3 e, assim, “o quadrado do segundo será igual a 9”. Como o quadrado perfeito só aparecerá se tivermos x2 – 6x + 9, acrescentaremos aos dois membros da igualdade o número 9.

Assim:

x² – 6x + 5 = 0 x²– 6x + 5 + 9 = 9

x²– 6x + 5 = 0 x²– 6x + 9 = 4

x²– 6x + 5 = 0 (x – 3)² = 4

x²– 6x + 5 = 0 x – 3 = –2 ou x – 3 = 2

x² – 6x + 5 = 0 x = 1 ou x = 5

Assim:

B – Fórmula de Bhaskara

Vamos resolver a equação: ax² + bx + c = 0, que é a forma geral da equação do 2º grau.
Inicialmente multiplicamos os dois membros da igualdade por a. Teremos:

a²x²+ abx + ac = 0

Notemos que a expressão:

é um quadrado perfeito e, assim podemos acrescentar aos dois membros da igualdade o número .
a²x² + abx + =

Logo:

Chamando b²– 4ac de discriminante da equação do 2º grau, que será representado pela letra grega (delta), teremos:

Dessa forma, resolvemos a equação do 2º grau com os coeficientes literais a, b e c o que nos permite estabelecer uma fórmula já nossa conhecida, chamada “fórmula de Bhaskara” a qual resolverá qualquer equação do 2º grau, bastando substituir os coeficientes pelos números na equação a resolver.

Exemplo
Resolver em R a equação
5x²– 12x + 4 = 0
temos, a = 5, b = –12 e c = 4
substituindo na fórmula de Bhaskara.

Observação: Se a equação não estiver na forma ax² + bx + c = 0 deve ser preparada através das operações conhecidas tais como eliminação de denominadores, retirada de parênteses, dentre outras.

C. Discussão do Número de Soluções da Equação do 2º Grau

Quando resolvemos uma equação do 2º grau, já colocada na sua forma normal é importante observar que três casos podem surgir em relação ao cálculo do discriminante. Observe:

1º caso: > 0 A equação terá duas raízes reais e distintas.

Exemplo

Resolver em R:

2º caso: = 0 A equação terá duas raízes reais e iguais.

Exemplo

Resolver em R:

3º caso: < 0 A equação não terá raízes reais.

Exemplo

Equação do Segundo Grau: Relação entre coeficientes e as raízes

As equações do 2º grau, ax² + bx + c = 0 (a 0) , possuem duas notáveis relações entre as raízes x₁ e x₂ e os coeficientes a, b e c.

São chamadas de relações de Soma e Produto ou relações de Girard.

Consideremos a equação do 2º grau:

ax² + bx + c = 0, com a 0 e com as raízes:

Podemos estabelecer:

1º) A soma das raízes da equação do 2º grau por meio da relação:

2º) O produto das raízes da equação do 2º grau através da relação:

A partir desses valores e, dividindo a equação ax² + bx + c = 0 pela constante a (coeficiente de x²), teremos a equação apresentada pela igualdade:

em que S é a soma de suas raízes e P é o produto delas.

Podemos dar a essa nova apresentação da equação do 2º grau duas utilizações práticas:

1º ) Determinar uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7.

Tendo as raízes, podemos determinar:

S = 2 + 7 = 9 e P = 2 · 7 = 14

Com esses valores, podemos montar a equação:

que é uma das equações do 2º grau cujas raízes são 2 e 7.

2º ) Resolver a equação do 2º grau:

x²– 7x + 12 = 0.

Pela observação da sentença que representa a equação, temos:

S = 7 e P = 12.

Basta, agora, com um “pouquinho” de criatividade, reconhecer dois números cuja soma é 7 e o produto é 12.

Claro que já percebemos que os números são 3 e 4. Portanto:

2. Resolvendo Equações com Mudança de Variável

Freqüentemente nos deparamos com equações que, mesmo não sendo do 2º grau, podem ser resolvidas com o auxílio dela. Nessas situações, devemos nos valer de mudanças nas variáveis da equação de tal forma que ela se transforme, temporariamente, numa equação do 2º grau, como nos exemplos que veremos a seguir:

Exemplo 1

Resolver a equação:

x⁴ – 3x² – 4 = 0

Notemos que esta é uma equação de quarto grau, porém com uma característica particular: apresenta apenas os termos de grau par.

Se fizermos:

x² = y

teremos:

y² – 3y – 4 = 0

Resolvendo esta equação, teremos:

y₁ = –1 e y₂ = 4

Considerando que y está ocupando o lugar de x², teremos:

x² = –1 ou x² = 4

Considerando , teremos:

x = – 2 ou x = 2

Assim sendo:

Exemplo 2

Resolver a equação:

(x² + x)² – 14 (x² + x) + 24 = 0

Evidentemente, os produtos e as potências indicados podem ser desenvolvidos originando uma equação do quarto grau com uma certa complexidade na sua resolução. Observemos, por outro lado, que a expressão (x² + x) se apresenta na equação mais de uma vez. Podemos tomar a iniciativa de substituí-la por uma única incógnita.

Se fizermos:

x² + x = m

teremos:

m² – 14m + 24 = 0

A resolução desta equação nos leva a dois valores de m: 2 e 12, que são, portanto, os valores de x² + x.

Logo:

x² + x = 2 ou x² + x = 12

Assim, determinaremos duas equações do 2º grau:

x² + x – 2 = 0

e

x² + x – 12 = 0

cujas soluções representarão as soluções da equação original. Assim sendo, e pela resolução destas equações, teremos: