7/31/2017

Enem 2014 - Exercícios - Função Exponencial





01. O turismo é uma atividade econômica muito importante em várias cidades brasileiras. Supõe-se que, numa determinada cidade, o número de turistas, em milhares, pode ser representado por

$N(t)=-\frac{1}{10}t^2+\frac{14}{5}t+50,2$

Com t = 0 correspondendo a 2000, t = 1, a 2001 e assim por diante. De acordo com esse modelo, qual é, em milhares, o número máximo de turistas nessa cidade?
a) 50,2.
b) 59,8.
c) 63,0.
d) 69,8.
e) 109,0.
Resolução:
Veja que N(t) representa o número de turistas, em função do ano. Para obter o número máximo de turistas, precisamos encontrar o valor máximo da função, ou seja, o y do vértice. Analisando o sinal do coeficiente a, podemos concluir que o número de turistas em função do tempo descreve um arco de parábola com concavidade para baixo.
É possível determinar o valor máximo da função usando a fórmula da ordenada do vértice:



$Y_v=- \frac{ \Delta}{4a}=-\frac{b²-4ac}{4a}$

Temos:
$a=-\frac{1}{10}, b=\frac{14}{5}$ e $c=50,2$




$Y_v=-\frac{(\frac{14}{5})^2- 4\frac{-1}{10} 50,2}{4.(-\frac{1}{10})} =-\frac{\frac{196}{25}+\frac{4}{10}\frac{502}{10}}{\frac{4}{10}}=\frac{\frac{196}{25}+\frac{2008}{100}}{\frac{4}{10}}$


$Y_v=-\frac{\frac{784+2008}{100}}{\frac{4}{10}}=\frac{\frac{2792}{100}}{\frac{4}{10}}=\frac{2792}{100}.\frac{10}{4}=\frac{2792}{40}=69,8$

02. Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a uma taxa de 5% ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6,775 bilhões de dólares. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano anterior, pode-se expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo t (em anos), por V = 6,775(1,05)t - 1 com t = 1 correspondendo a 2011, t = 2, a 2012 e assim por diante. Em que ano o valor movimentado será igual a 13,5 bilhões de dólares?
Dados: log 2 = 0,3 e log 1,05 = 0,02
a) 2015.
b) 2016.
c) 2020.
d) 2025.
e) 2026.
Resolução:
Na função exponencial dada, temos que encontrar o tempo para que o valor movimentado pelo Ecoturismo seja igual a 13,5 bilhões de dólares. Para isso, vamos substituir V por este valor. Assim:

$13,5=6,775(1,05)^{t-1}\rightarrow\frac{13,5}{6,775}=(1,05)^{t-1}\rightarrow2=(1,05)^{t-1}$  
Para obtermos o t, teremos que aplicar logaritmo nos dois membros da equação exponencial resultante. Assim:
log 2 = log (1,05)t - 1
Utilizando uma das propriedades dos logaritmos (log an = n.loga), vem:
log 2 = (t - 1)log 1,05.
Veja que o log 2 é igual a 0,3 e o de log 1,05 vale 0,02. Logo:
0,3 = (t - 1)0,02
Resolvendo, temos:
$t-1=\frac{0,3}{0,02}\rightarrow{t-1}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{2}{100}}\rightarrow{t-1}=\frac{3}{10}.\frac{100}{2}\rightarrow{t-1}=\frac{30}{2}\rightarrow{t-1}=15 \rightarrow t=16$

Veja que o tempo t = 1, corresponde a 2011, t = 2, a 2012 e assim por diante. Este percentual de crescimento, expresso pela função exponencial dada, incide sobre a movimentação do ano anterior, ou seja, no t = 1, este valor será em relação a 2010. Logo, o valor de 13,5 bilhões de dólares será movimentado em 2010 + 16 = 2026.

03. Segundo o Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA), em dezembro de 2008, foram registrados, no setor de turismo (ACTs - Atividade Características de Turismo), 879.003 empregos formais. Já na economia como um todo (incluindo setores estatutários e militares), esse número foi de 30.862.772. De acordo com os dados, a razão entre o número de empregos formais na economia como um todo e em ACTs é igual a a) 9/316.
b) 10/351.
c) 158/45.
d) 351/10.
e) 316/9.
Resolução:
Razão significa divisão. Logo, a ordem dos termos da divisão é importante. Na pergunta, a razão é entre o número de empregos formais na economia como um todo e em ACTs, nesta ordem. Logo, pelos valores apresentados no texto da pergunta, temos:
$\frac{30.862.772}{879.003}=35,111...$
Veja que o resultado é uma dizíma periódica simples. Dentre as alternativa apresentadas, a que pode representar uma dízima periódica simples é a letra c ou a letra e, pois possui denominadores 45 e 9. No entanto, pelo valor encontrado na divisão, a letra correta é a letra e, ou seja, 316/9.
Outra forma de encontrar a resposta é analisar as alternativas. Veja que a razão possui o numerador muito maior que o denominador. Logo, a fração resultante simplificada, deve possuir essa mesma condição. Com isso, dava para eliminar as alternativas a e b. A letra d poderia ser eliminado por outra condição: como o denominador 879.003 não é divisível por 10, não poderíamos ter como fração 351/10. Sobraria as letras c e e. Mas veja que a razão 30862772/879003 apresenta o numerador muito maior que o denominador (dá prá ver que mais do 10 vezes). No entanto, a fração 158/45 apresenta o numerador pouco maior que o denominador (dá prá ver que menos do que 4 vezes). Dessa forma, sobraria como única alternativa a letra e.

04. Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira.
Fonte: Disponível em http://www.copa2014.gov.br. Acesso em: 7 jun. 2012. (adaptado)
O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da Infraero – Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeronáutica.
De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a
a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos.
b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos.
c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil.
d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos.
e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil.
Resolução:
O ponto de interseção das retas nos diz que função capacidade (C) é igual a função demanda (D). Logo, teremos que encontrar as leis das funções capacidade e demanda. Como os gráficos são retas, essas funções são do tipo y = ax + b (função afim). Para encontrar esse ponto de interseção devemos determinar as leis dessas funções.
Função capacidade (C):
Veja que esta reta possui os pontos (0; 4) e (4; 8), supondo que o ano de 2010 seja x = 0 e o ano de 2014, x = 4. Do ponto (0, 4) temos b = 4. Pegamos o outro ponto para encontrar o coeficiente a. Logo:
8 = a.4 + 4  →  a = 1. Assim, a função capacidade é y = x + 4 (C), onde x é o tempo e y o número de passageiros.
Função demanda (D):
Veja que esta reta possui os pontos (0; 6,7) e (4; 7,2).
Do ponto (0; 6,7) temos  b = 6,7. Pegamos o outro ponto para encontrar o coeficiente a. Logo:
7,2 = a.4 + 6,7  →  a =$\frac{1}{8}$.
Assim, a função capacidade é: $y =\frac{x}{8}$+ 6,7 (D).
Queremos encontrar o y, que representa o número de passageiros. Vamos isolar x na função capacidade (C) e substituir na função demanda (D). Assim:
(C) y=x+4→x=x-4
(D) y=$\frac{x}{8}$+6,7→y+$\frac{y-4}{8}$+6,7→y-6,7=$\frac{y-4}{8}$→8y-53,6=y-4
8y-y=53,6-4→7y=49,6→y=7,0857
Este valor é em milhões. Portanto, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a 7,0857 milhões, ou seja, sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos.

05. O gráfico a seguir mostra a distribuição percentual do valor da produção gerada pelas Atividades Características do Turismo no Brasil por atividade, em 2007.

Sabe-se que, em 2007, as Atividades Características do Turismo geraram uma produção de 168,8 bilhões de reais. Qual é, aproximadamente, em bilhões de reais, a produção gerada pelas Atividades recreativas, culturais e desportivas?
a) 13,1.
b) 16,0.
c) 22,4.
d) 33,4.
e) 67,4.
Resolução:
Pelo gráfico de setores, vemos que o percentual da produção gerada pelas Atividades recreativas, culturais e desportivas é igual a 13,27%. Logo, este valor em bilhões de reais é obtido calculando 13,27% de 168,8. Assim:
0,1327 . 168,8 = 22,39. Por aproximação temos 22,4 bihões de reais.


Prova da UFSM - 2013 - 08/12/12 - PS2
01. Trigonometria
Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda a população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias.
Suponha que a função
$N(x)=180-54\cos(\frac{\Pi}{6}(x-1))$
represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Sáude, com x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, o mês de fevereiro e assim por diante. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a
a) 693.
b) 720.
c) 747.
d) 774.
e) 936.
Resolução:
Temos que encontrar N(1), referente ao número de pessoas com doenças respiratórias registrado em janeiro, N(3), referente ao mês de março, N(5), ao mês de maio e N(7), ao mês de julho.
$N(1)=180-54\cos(\frac{\Pi}{6}(1-1))=180-54.\cos(o)=180-54.1=180-54=126.$
$N(3)=180-54\cos(\frac{\Pi}{6}(3-1))=180-54.\cos(\frac{\Pi}{3})=180-54.\frac{1}{2}=180-27=153.$

$N(5)=180-54\cos(\frac{\Pi}{6}(5-1))=180-54.\cos(\frac{2\Pi}{3})=180-54.(-\frac{1}{2})=180+27=207.$




$N(7)=180-54\cos(\frac{\Pi}{6}(7-1))=180-54.\cos(\frac{2\Pi}{3})=180-54.(-1)=180+54=237.$

Somando, temos: 126+153+207+234=720.

02. Trigonometria no triângulo A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhoria da qualidade de vida.
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.
Dado: √3 = 1,7
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto?
a) 2,29.
b) 2,33.
c) 3,16
d) 3,50
e) 4,80.
Resolução:
Como o triângulo não é retângulo (o triângulo é obtusângulo) e conhecemos 2 lados e o ângulo entre eles, vamos aplicar a lei dos cossenos para conhecermos o lado BC, que iremos simbolizar por x. Assim:

$x^2=(0,8)^2+1^2-2.8,1.\cos{150º}$
$x^2=0,64+1-1,6(-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$x^2=1,64+1-0,8.\sqrt{3}$

como $\sqrt{3}=1,7$, temos:
$x^2=1,64+0,8.1,7$
$x^2=1,64+1,36$
$x^2=3$

$x^2=\sqrt{3}$
Portanto, o total do trajeto é: 0,8 + 1 + 1,7 = 3,5 km.

03. Análise Combinatória
As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardiácas.
Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores?
a) 220.
b) 300.
c) 600.
d) 720.
e) 1.200.
Resolução:
Temos que escolher 3 cardiologistas de um total de 5, 1 anestesista de um total de 2 e 4 instrumentores de um total de 6. Como a ordem da escolha não determina uma equipe diferente, aplicamos combinação simples, ou seja:
$C_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)p!}$
Vamos quantificar os grupos de 3 cardiologistas, entre os 5 disponíveis:
 $C_{5,3}=\frac{5!}{(5-3)!3!}=\frac{5!}{(2!3!}=10$
Agora vamos quantificar os grupos de anestesistas. Se são 2 e temos que escolher 1, temos apenas 2 possibilidades, ou seja, C2,1 = 2.
Por fim,vamos ver quantos possibilidades temos de escolher 4 instrumentores de um total de 6:
$C_{6,4}=\frac{6!}{(6-4)!4!}=\frac{5!}{(2!4!}=15$
Como a equipe é formado por cardiologistas e anestesista e instrumentores, multiplicamos as combinações. Assim:
$C5, 3 x C2, 1 x C6,4= 10.2.15= 300.

04. Progressão A tabela mostra o número de pessoas que procuram serviços de saúde, segundo o local, numa determinada cidade.

Supõe-se que esse comportamento é mantido nos próximos anos. Partindo dos dados, fazem-se as seguintes afirmações: I. O número de pessoas que procuraram Postos e Centros de Saúde cresceu em progressão geométrica de razão 2.000.
II. O total de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Privadas de 2001 até 2011 é igual a 112.200.
III. Em 2011, o número de atendimentos em Clínicas Odontológicas é igual a 827.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
Resolução:
Afirmação I:
O número de pessoas que procuraram atendimento em Postos e Centros de Saúde cresceu da seguinte forma, conforme tabela: 2.000, 4.000, 8.000, 16.000, ...
Este crescimento é geométrico, pois a divisão de termos consecutivos resulta sempre num mesmo valor. Se dividirmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão q desta PG, ou seja:
$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4.000}{2.000}=2$
Logo, a afirmação está errada.
Afirmação II:
O número de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Privadas cresceu da seguinte forma, conforme tabela: 4.200, 5.400, 6.600, 7.800, ... .
Este crescimento é aritmético, pois a subtração de termos consecutivos resulta sempre num mesmo valor. Se subtraírmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão r desta PA, ou seja:
r = a2 – a1 = 5400 – 4200 = 1200.
Para sabermos o total de pessoas de 2001 até 2011, devemos aplicar a fórmula da soma dos termos da PA. Antes disso, devemos determinar a quantidade de pessoas que procuraram atendimento em 2011, ou seja, o último termo. Veja, com cuidado, que este termo ocupa a 11ª posição. Assim:
a11 = a1 + 10r  a11 = 4200 + 10.1200 = 4200 + 12000 = 16200.
Agora vamos determinar a soma, usando a fórmula
$S_n=\frac{a_1+a_11}{2}$.n
Como de 2001 a 2011 temos 11 termos, o n = 10, a1= 4200 e a11 = 16200. Assim:
 $S_n=\frac{4200+16200}{2}$.11=10200.11=112200

Logo, a afirmação está correta.
Afirmação III:
O número de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Odontológicas decresceu da seguinte forma, conforme tabela: 857, 854, 851, 848, ... .
Este decrescimento é aritmético, pois a subtração de termos consecutivos resulta sempre num mesmo valor. Se subtraímos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão r desta PA, ou seja:
r = a2 – a1 = 854 – 857 = –3.
Devemos encontrar o número de pessoas em 2011, ou seja, o décimo primeiro termo. Assim:
a11 = a1 + 10 r → a11 = 857 + 10(–3) = 857 – 30 = 827.
Logo, a afirmação está correta.

05. Sistemas Lineares. Num determinado mês, em uma unidade de saúde, foram realizadas 58 hospitalizações para tratar pacientes com as doenças A, B e C. O custo total em medicamentos para esses pacientes foi de R$ 39.200,00.

Sabe-se que, em média, o custo por paciente em medicamentos para a doença A é R$ 450,00, para a doença B é R$ 800,00 e para a doença C é R$ 1.250,00. Observa-se também que o número de pacientes com a doença A é o triplo do número de pacientes com a doença C. Se a, b e c representam, respectivamente, o número de pacientes com as doenças A, B e C, então o valor de a - b - c é igual a
a) 14.
b) 24.
c) 26.
d) 36.
e) 58.
Resolução:
O número de pacientes com as doenças A, B e C é representado, respectivamente, por a, b e c.
 Assim, construindo o sistema:

$\begin{cases} a-b+c=58 (I)\\ 450a+800b+1250c=39200 (II)\\ a=3c(III) \end{cases}$ Dividindo a eq. (II) por 50, temos:


$\begin{cases} a-b+c=58 (I)\\ 9a+16b+25c=784(II) \\ a=3c(III) \end{cases}$

Substituindo a eq. (III) na (II) e (I) temos:


$\begin{cases} 3c-b+c=58 (I)\\ 9.(3c)+16b+25c=784(II) \\ \end{cases}$

$\begin{cases} 4c+b=58 (I)\\ 52c+16b=784(II) \\ \end{cases}$ Multiplicando a eq. (i) por -16 e somando com a (II) temos:



$\begin{cases} -64c-\cancel{16b}+-928(I)\\ 52c+\cancel{16b}=784(II) \\ \end{cases}$


Logo, c = 12.
Substituindo c = 12 na eq. (III), temos: a = 3.12  →  a = 36.
Substituindo c = 12 e a = 36 na eq. (I), temos: 36 + b + 12 = 58  →  b = 10.
Portanto: a - b - c = 36 - 10 - 12 = 14.


Prova da UFSM - 2013 - 09/12/12 - PS3
01. Geometria Analítica
O uso de fontes de energias limpas e renováveis, como a energia eólica, geotérmica e hidráulica, é uma das ações relacionadas com a sustentabilidade que visa a diminuir o consumo de combustíveis fósseis, além de preservar os recursos minerais e diminuir a poluição do ar. Em uma estação de energia eólica, os cataventos C1, C2 e C3 estão dispostos conforme o gráfico a seguir.

Para que um catavento de coordenadas (x, y) esteja alinhado com o catavento C1 e com o ponto médio do segmento C2C3 , é necessário e suficiente que
a) 2x + 15y = 850.
b) 5y - x + 50 = 0.
c) 55y - 26x + 2.050 = 0.
d) 4x + 5y = 450.
e) 5y - 6x + 550 = 0.
Resolução:
Dado o triângulo com vértices em C1, C2 e C3, devemos encontrar a equação da reta mediana m em relação ao lado C2C3, conforme figura abaixo:

 Vamos encontrar o ponto médio do lado C2C3, que é obtido pelas médias aritméticas de suas componentes, ou seja:

$X_M=\frac{X_{C2+X_{C3}}}{2}=\frac{200+50}{2}=125$

$X_M=\frac{Y_{C2+Y_{C3}}}{2}=\frac{200+50}{2}=125$

Temos os pontos M(125, 40) e C1(100, 10) que pertencem a mediana m. Assim:
$\begin{vmatrix} X &125 & x \\ Y &40 & 10&y \\ \end{vmatrix}=0 → 40x+1250+100y-125y-4000-10x=0$
 
30x-25y-2750=0 → 6x-5y-550=0$ → $5y-6x+550=0

02. Função polinomial O lixo ainda é um dos principais desafios dos governos na área de gestão sustentável. Na última década, o Brasil deu um salto importante no avanço para a gestão correta dos resíduos sólidos.
O gráfico mostra dados do Ministério do Meio Ambiente sobre o número de programas de coleta seletiva, em 2000 e 2008.

Supõe-se que o número de programas de coleta seletiva é expresso por f(x) = ax3 - x2 + 12x + b, a, b ∈ R, em que x é o tempo em anos, x = 0 corresponde a 2000, x = 1 corresponde a 2001 e assim por diante. De acordo com esse modelo, o número de programas de coleta seletiva em 2012 é igual a
a) 1.538.
b) 1.728.
c) 1.858.
d) 2.178.
e) 2.228.
Resolução:
Para responder a pergunta, devemos completar a função f(x) = ax3 – x2 + 12x + b, isto é, encontrar a e b. Pelo gráfico, encontramos o valor do b, pois o termo independente da função polinomial representa o valor onde a curva intercepta o eixo y. Assim, b = 450.
Veja que x = 0 corresponde a 2000. Portanto, x = 8 corresponde ao ano de 2008. Para encontrar a, devemos substituir o ponto (8, 994) na função:
a.83 – 82 + 12.8 + 450 = 994  512a – 64 + 96 + 450 = 994  512a + 482 = 994
512a = 512  a = 1.
Para encontrar o número de programas de coleta seletiva em 2012, fazemos x = 12 e substituimos na função f(x) = x3 – x2 + 12x + 450. Assim:
f(12) = 123 – 122 + 12.12 + 450 = 1728 – 144 + 144 + 450 = 2178.

03. Geometria Espacial Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessa alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças.
Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de uma prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm3, dessa embalagem?
a) 150√3 .
b) 1.500.
c) 900√3.
d) 1.800.
e) 1.800√3.
Resolução:
O prisma hexagonal regular possui duas bases congruentes e paralelas que são hexágonos regulares. Esta base hexagonal pode ser dividida em 6 triângulos equiláteros. Como o volume do prisma é calculado multiplicando a área da base pela altura, temos:



04. Números Complexos
Os edifícios "verdes" têm sido um nova tendência na construção civil. Na execução da obra desses prédios, há uma preocupação toda especial com o meio ambiente em que estão inseridos e com a correta utilização dos recursos naturais necessários ao seu funcionamento, além da correta destinação dos resíduos gerados por essa utilização.
A demarcação do terreno onde será construído um edifício "verde" foi feita através dos pontos P1, P2, P3 e P4, sendo o terreno delimitado pelas poligonais P1P2, P2P3, P3P4, P4P1, medidas em metros. Sabendo que P1, P2, P3 e P4 representam, respectivamente, a imagem dos complexos
$z_1=20+40i$
$z_2=-15+50i$
$z_3=-15+10i$ e
$z_4=\frac{1}{16}z_1-\frac{5}{4}\bar{z_3}$
qual é a área, em m2, desse terreno? a) 1.595.
b) 1.750.
c) 1.795.
d) 1.925.
e) 2.100.
Resolução:



05. Matemática Financeira No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas cooperativas. Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir na compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são depositados, no primeiro dia de cada mês, R$ 600,00 em uma aplicação financeira que rende juros compostos de 0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao final de n meses, é
a) 100.600[(1,006)n - 1].
b) 100.000[(1,06)n - 1].
c) 10.060[(1,006)n - 1].
d) 100.600[(1,06)n - 1].
e) 100.000[(1,006)n - 1].
Resolução:
A aplicação financeira descrita no problema recebe o nome de montante de uma sequencia uniforme de depósitos, muito comum em poupanças de depósitos fixos mensais, onde há débito automático em conta-corrente para crédito em conta-poupança.
Usamos a fórmula do montante composto V = Vo(1 + i)t, em que Vo = 600, i = 0,6% = 0,006 e V o montante após n meses:
V = 600 + 600(1 + 0,006) + 600.(1 + 0,006)2 + ....
V = 600 + 600(1,006) + 600(1,006)2 + .... em n meses, após ter sido feito o último depósito de número n.
Veja que os depósitos 600, 600(1,006), 600(1,006)2, ... estão em progressão geométrica de razão
$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{600.(1,006)}{600}=1,006$
Para sabermos o montante final V, aplicamos a fórmula da soma dos termos da PG:
$V=S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{600(1-1,0006^n)}{1-1,006}=\frac{600(1-1,006^n}{-0,006}=\frac{600(1,006^n}{0,006}$
V=S_n=\frac{600(1,006^n-1}{\frac{6}{1000}} =600\frac{1000}{6}(1,006^n-1)=100000(1,006^-1)$
Mas devemos lembrar que é pedido a expressão que representa o saldo ao final de n meses. Logo, sobre esse montante é aplicado o 0,6% do mês. Para ver isso, fazemos: 1,06.100000[(1,006)n – 1] = 100600[(1,006)n – 1].
Também podemos obter a expressão final supondo o a1 = 600.1,006.
Questão perigosa, pois normalmente se pede o montante ao final do depósito de data n (isto é, logo após ter sido feito o último depósito), que não é o caso desta pergunta.


Fonte: http://www.matematica.com.br
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7/10/2017

Questões Exponencial - ENEM






Questão 1 — UFSCAR


Para estimar a área da figura ABDO (sombreada no desenho), onde a curva AB é parte da representação gráfica da função f(x) = 2x, João demarcou o retângulo OCBD e, em seguida, usou um programa de computador que “plota” pontos aleatoriamente no interior desse retângulo.
Sabendo que dos 1000 pontos “plotados”, apenas 540 ficaram no interior da figura ABDO, a área estimada dessa figura, em unidades de área, é igual a

A) 4,32.
B) 4,26.
C) 3,92.
D) 3,84.
E) 3,52.

Questão 2 — Aplicada em: 2016 - Banca: INEP: Órgão: ENEM Prova: Exame Nacional do Ensino Médio - Primeiro e Segundo Dia (2ª Aplicação)


O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:
p(t) = 40 • $2^{{3t}}$ em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias.
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será:

A) reduzida a um terço. 
B) reduzida à metade. 
C) reduzida a dois terços. 
D) duplicada. 
E) triplicada. 

Questão 3— Aplicada em: 2016 - Banca: INEP: Órgão: ENEM Prova: Exame Nacional do Ensino Médio - Primeiro e Segundo Dia (2ª Aplicação)



Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio, modelado pela função $y(t) = a^{t -1}$, na qual y representa a altura da planta em metro, t é considerado em ano, e a é uma constante maior que 1 . O gráfico representa a função y.




Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando plantada, e deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m após o plantio.

O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual a


A) 3.
B) 4.
C) 6.
D) $\log_{2} 7$.
E) $\log_{2} 15$.



A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

Suponha que o modelo exponencial $y=363e^{{0,03x}}$, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando $e^{0,3} = 1,35$ , estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre

A) 490 e 510 milhões.

B) 550 e 620 milhões.

C) 780 e 800 milhões.

D) 810 e 860 milhões.

E) 870 e 910 milhões.


 ENEM 2011 - Questão 177 – Prova Azul.


Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:

Investimento A: 3% ao mês

Investimento B: 36% ao ano

Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:


Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá

A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.

B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.

C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.

D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.

E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

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Função quadrática - Enem



Função Quadrática

Uma função quadrática, ou de segundo grau, ́e uma função $f: \Re \rightarrow \Re$ cuja lei de formação ́e da forma f (x) = $ax^2 + bx + c$ , onde a, b e c são números reais dados, sendo a = 0. Observe que, se tivéssemos a = 0, obteríamos uma função afim.

Exemplo: A seguir, listamos exemplos de função quadrática e identificamos o coeficiente $x^2$, o coeficiente de x e o termo independente, que chamaremos respectivamente de a,b e c, como acima.

Função quadrática Completa

(a) $f(x)=x^2-5x+6$ :      Temos a=1, b=-5 e c=6;

Função incompleta em c

(b) $f(x)=x^2-16x$ :          Temos a=1, b=-16 e c=0;

Função incompleta em b 

 

(c) $f(x)=-2x^2-8$ :          Temos a=-2, b=0 e c=-8;


Dada a função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$, podemos escrever:


$f(x)=ax^2+bx+c=a\large[x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}]$


As duas primeiras parcelas dentro dos colchetes são as mesmas do desenvolvimento do quadrado



$(x+\frac{b}{2a})^2=x^2+\bcancel{2}.x.\frac{b}{\bcancel{2}a}+\frac{b^2}{4a^2}=$


$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}.$


Agora vamos completar os quadrados:

$f(x)=ax^2+bx+c$


$f(x)=a\large[x^2+2.x.\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]$


ou seja,

$f(x)=ax^2+bx+c=$

$=a\large[(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac-b^2}{4a^2}]$ (forma canônica)


ou ainda

$=a\large[(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac-b^2}{4a}]$ 

Chamado de :


$m=-\frac{b}{2a}$ e $k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

Concluímos que $k=f(m).$

Assim para todo x ∈ ℝ e a0 podemos escrever qualquer função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c=$ da seguinte maneira:


 $f(x)=a(x-m)^2 +k$, que $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=\frac{4ac-b^2}{4a}$ (outra forma de escrever a forma canônica.

Exemplo, vamos escrever a função

 $f(x)=x^2-4x-6=$ na forma canônica.


1ª maneira


completando o quadrado:

$x^2-4x-6=(x^2-4x)-6$

$x^2-4x-6=(x^2-4x+4)-4 -6$

$x^2-4x-6=(x-2)^2-10$

logo,$f(x)=x^2-4x-6=(x-2)^2-10$.


2ª maneira


calculando $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=f(m)$ e substituindo em 


$f(x)=a(x-m)^2+k$

$f(x)=x^2-4x-6=$

dados: a=1; b=-4 e c=-6

como $m=-\frac{b}{2a}$

logo temos

$m=\frac{4}{2}=2$

agora em $k=f(m)$


$k=f(m)=2^2-4.2-6=4-8-6=4-14=-10$

⇒k=-10,

portanto, $f(x)=(x-2)^2-10$


Decorrências da forma Canônica


1ª) Valor mínimo e valor máximo da função


$f(x)=ax^2+bx+c$

consideremos a função quadrática

$f(x)=3x^2-5x+2$.

nesse caso, temos : $m=\frac{5}{6}$ e 

$k=f({\frac{5}{6}})=3.({\frac{5}{6}})^2-5(\frac{5}{6})+2=-\frac{1}{12}$.

na Forma canônica é dada por.

$f(x)=3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}$
Analisando essa forma, podemos concluir que o menor valor de $f(x)$ para todo x ∈  

 é $-\frac{1}{12}$. Isso ocorre quando $x=\frac{5}{6}$.


De modo geral, da forma canônica:

$f(x)=a(x-m)^2+k$

Concluímos que, para qualquer ∈ ℝ:

  • Se a> 0, o menor valor de $f(x)$ é $k=f(x)$;

  • Se a<0, o maior valor de $f(x)$ é $k=f(m)$.

2ª Zeros da Função quadrática e raízes da equação correspondente

$f(x)= 3x^2-5x+2$⇒

⇒$f(x)=3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}$ (forma canônica)

$3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}=0$⇒$3.(x-\frac{5}{6})^2=\frac{1}{12}$⇒

$(x-\frac{5}{6})^2=\frac{1}{36}$=

$(x-\frac{5}{6})=± \frac{1}{6}$=

x'⇒ |$(x-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}$⇒$x=1$)

x'' ⇒|$(x-\frac{5}{6})=-\frac{1}{6}=\frac{4}{3}$⇒$x=\frac{2}{3}$

Logo,os zeros de $f(x)=3x^2-5x +2$ são 1 e $\frac{2}{3}$, que são também as raízes da equação

$3x^-5x+2=0$. DE modo geral, da forma canônica de

$f(x)=ax^+bx+c$, com a ≠ 0, que é $a(x-m)^2+k$ com $m=-\frac{b}{2a}$, podemos chegar à fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, as raízes da equação do 2º grau $ax^+bx+c=0$. Acompanhe as equivalências:

$ax^2+bx+c=0⇔a(x-m)^2 +k=0$

$ax^2+bx+c=0⇔a(x-m)^2=-k$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)^2=-\frac{k}{a}$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)=±\frac{√b^2-4ac}{√4a^2}$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)=±\frac{√b^2-4ac}{2a}$

$ax^2+bx+c=0⇔x=m±\frac{√b^2-4ac}{2a}$

$x=-\frac{b}{2a}±\frac{√b^2-4ac}{2a}$

$x=\frac{-b±√b^2-4ac}{2a}$ (fórmula que fornece as raízes da equação do 2º grau $ax^2+bx+c=0$.

Texto tirado do Livro Dante Matemática volume único pág 75 à 76.




Procedimento muito útil para estudar a função quadrática é o completando o quadrado. Basicamente o método se resume na observação de que:

$x^2+px=\large(x+\frac{p}{2})^2 -\frac{p^2}{4}.$

Exemplo 1:
$x^2 +10x=x^2+2.5.x+5^2-5^2=(x+5)^2-25$

Exemplo 2:
$3x^2+12x+5=3(x^2+4x)+5=3[(x+2)^2-4]+5=3(x+2)^2-7.$

Genericamente, dada a função quadrática $f(x)= ax^2+bx+c$, escrevemos:


$f(x)= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

é muito importante e conveniente escrevermos $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=\frac{(4ac-b^2)}{4a}$. Verifica-se facilmente que $k=f(m)$. Com esta notação, temos, para todo xℝ:
$f(x)=a(x-m)^2+k$, onde $m=-\frac{b}{2a}$  e  $k=f(m)$.
Esta é chamada forma canônica do trinômio $f(x)= ax^2+bx+c$.

Máximos e mínimos

  Voltando à expressão geral $x=a^2+bx+c$ para forma canônica, note que o termo ($x+\frac{b}{{2a}})^2$ é sempre maior ou igual a zero. Assim, quando a > 0, temos que a($x+\frac{b}{{2a}})^2$ $\geq$0 para todo x $\in\,\Re$. Por outro, lado quando a<0 temos que  a($x+\frac{b}{{2a}})^2$ $\leq$ 0 para todo x$\in\,\Re$. De qualquer modo, como a$\neq$0 em ambos os casos, a igualdade ocorre somente para  $x+\frac{b}{{2a}}=0$ isto é, quando $x=-\frac{b}{{2a}}$.


 $f(x)=a(x+\frac{b}{{2a}})^2 -\frac{\Delta}{{4a}}\geq -\frac{\Delta}{{4a}}$, com igualdade se e só se $x=-\frac{b}{{2a}}$
Podemos, então, enunciar o resultado a seguir, o qual explica quando funções quadráticas atingem valores máximos ou mínimos, e em que ponto(s) o fazem.
Se a > 0, então o valor mínimo da função $f(x) = ax^2 +bx+c$ , ao variarmos x em $\Re$, é
obtido somente quando $x = −\frac{b}{{2a}}$ . Ademais, esse valor mínimo é igual a −$\frac{\Delta}{{4a}}$.
Se a < 0, então o valor máximo da função $f(x)=ax^2 +bx+c$ , ao variarmos x em $\Re$, é
obtido somente quando $x = −\frac{b}{{2a}}$ . Ademais, esse valor m´aximo ´e igual a $−\frac{\Delta}{{4a}}$.

O resultado acima é bastante importante em aplicações.
A fim de tornar patente tal importância, examinamos alguns exemplos a seguir, a começar por uma aplicação mais
simples.

Fonte: Material do Portal OBMEP

Caso haja algum erro comente aqui ou nos envie um email: fmbacelar@gmail.com

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7/09/2017

Igualdade de matrizes para o ENEM

Igualdade de matrizes O próximo passo é estabelecer um critério que nos permita decidir se duas matrizes são ou não iguais. Temos a seguinte definição: Duas matrizes A,B $\in$ $M_{m\times n}\Re$, A = $(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$, são iguais quando $a_{ij}=b{ij}$, $\forall$ i $\in$ ${1,\ldots ,m}$, $\forall$ j $\in$ ${1, \ldots, n}$.
Exemplo 4
Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes $\left ( \begin{array}{cc} 2a&3b \\ c + d&6 \\ \end{array} \right) $ e $\left ( \begin{array}{cc} 4&-9\\ 1&2c \\ \end{array} \right) $
$\left ( \begin{array}{cc} 2a&3b \\ c + d&6 \\ \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{cc} 4&-9\\ 1&2c \\ \end{array} \right) $$\Rightarrow$ \[ \left\{ \begin{array}{ll} 2a&= \,4\\ 3b&= \,-9\\ c + d&= \,1\\ 6&= \,2c\\\end{array} \right. \]

Daí, obtemos a = 2, b = -3, c = 3 e d = -2.




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Aula 01 - Matrizes - Enem 2018

Definição

Uma matriz real A de ordem $m × n$ é uma tabela de múmeros reais, dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n são números inteiros positivos. Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por $A_{m×n} \Re$ . Neste curso, como só trabalharemos com matrizes reais, usaremos a notação simplificada $A_{m×n} $, que se lê “A m por n”. Também podemos escrever A = ($a_{ij}$), onde i $\in$ {$1, ...,m$} é o índice de linha e j $\in$ {1, ..., n} é o índice de coluna do termo genérico da matriz. Representamos o conjunto de todas as matrizes reais “m por n”por $M_{m×n} \Re$ . Escrevemos os elementos de uma As barras simples são usadas matriz limitados por parênteses, colchetes ou barras duplas.

Exemplo

1. Uma matriz ${3 \times 2}$ :

$\left ( \begin{array}{ccc} 1 & 10\\ 2 & 11\\ 10 & 20\\ \end{array} \right) $

2. Uma matriz ${2 \times 2}$ :

$\left ( \begin{array}{ccc} 3 & 4\\ 5 & 15\\ \end{array} \right) $

3. Uma matriz ${3 \times 1}$ :

$\left ( \begin{array}{c} -3 \\ 5 \\ 1\\ \end{array} \right) $

De acordo com o número de linhas e colunas de uma matriz, podemos destacar os seguintes casos particulares:

• m = 1: matriz linha

• n = 1: matriz coluna

• m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas $A_n$ e dizemos que “A é uma matriz quadrada de ordem n”. Representamos o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n por $M_n\Re$ (ou, simplesmente,por $M_n$).

Exemplo 2 1. Uma matriz ${1 \times 4}$ :

$\left ( \begin{array}{cccc} 1 & 10& 5& 7\\ \end{array} \right) $

2. Uma matriz ${3 \times 1}$ :

$\left ( \begin{array}{c} 1 \\ 10\\ 17\\ \end{array} \right) $

3. matriz quadrada de ordem 2: $\left ( \begin{array}{cc} 1&22 \\ 10&11\\ \end{array} \right) $

Os elementos de uma matriz podem ser dados também por fórmulas, como ilustra o pr´oximo exemplo.

Exemplo 3

Vamos construir a matriz A$\in M_{2 \times 4}(\Re)$

\[ a_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll} i^2 + j& \mbox{se $i \doteq j$};\\ i-2j & \mbox{se $i \neq j$}.\end{array} \right. \]

A matriz procurada é do tipo A= $\left ( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ \end{array} \right) $

Seguindo a regra de formação dessa matriz, temos:

$a_{11}=1^2+1=2$

$a_{22}=2^2+2=6$

$a_{12}=1-2(2)=-3$

$a_{13}=1-2(3)=-5$

$a_{14}=1-2(4)=-7$

$a_{21}=2-2(1)=0$

$a_{23}=2-2(3)=-4$

$a_{24}=2-2(4)=-6$

Logo, A= $\left ( \begin{array}{cccc} 2&-3&-5&-7 \\ 0&6&-4&-6 \\ \end{array} \right) $

Igualdade de matrizes O próximo passo é estabelecer um critério que nos permita decidir se duas matrizes são ou não iguais. Temos a seguinte definição: Duas matrizes A,B $\in$ $M_{m\times n}\Re$, A = $(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$, são iguais quando $a_{ij}=b{ij}$, $\forall$ i $\in$ ${1,\ldots ,m}$, $\forall$ j $\in$ ${1, \ldots, n}$.

Exemplo 4

Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes $\left ( \begin{array}{cc} 2a&3b \\ c + d&6 \\ \end{array} \right) $ e $\left ( \begin{array}{cc} 4&-9\\ 1&2c \\ \end{array} \right) $

$\left ( \begin{array}{cc} 2a&3b \\ c + d&6 \\ \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{cc} 4&-9\\ 1&2c \\ \end{array} \right) $$\Rightarrow$ \[ \left\{ \begin{array}{ll} 2a&= \,4\\ 3b&=\,-9\\ c + d&= \,1\\ 6&= \,2c\\\end{array} \right. \]

Daí, obtemos a = 2, b = -3, c = 3 e d = -2.

Numa matriz quadrada A = ($a_{ij}$), i,j ¸ {1,$\ldots$ n}, destacamos os seguintes elementos:

diagonal principal: formada pelos termos $a_{ii}$ (isto é, pelos termos com índices de linha e de coluna iguais).

diagonal secundária: formada pelos termos $a_{ij}$ tais que i + j = n.

Exemplo 5

Seja

$\left ( \begin{array}{cccc} 3&-2&0&1 \\ 5&3&-2&7 \\ \frac{1}{2}&-3&\pi&14 \\ -5&3&-1&6 \\ \end{array} \right) $

A diagonal principal de A é formada por: 3, 3, $\pi$ , 6

A diagonal secundária de A é formada por: 1,.2,.3,.5

Matrizes quadradas especiais

No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar alguns tipos especiais. Seja A = ($a_{ij}$) ¸ $M_{n}$($\Re$). Dizemos que A é uma matriz

triangular superior, quando $a_{ij}$ = 0 se i > j (isto é, possui todos os elementos abaixo da diagonal principal nulos).

triangular inferior, quando $a_{ij}$ = 0 se i < j (isto é,, possui todos os elementos acima da diagonal principal nulos).

diagonal, quando $a_{ij}$ = 0 se i $\neq$ j (isto é,, possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal é, ao mesmo tempo, triangular superior e triangular inferior.

escalar, quando $a_{ij}$\[ \left\{ \begin{array}{ll} 0&se\, i\neq j\\ k&se\, i=j \\\end{array} \right. \], para algum k $\in$$\Re$. Isto é, uma matriz escalar é diagonal e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a um certo escalar k.

identidade, quando $a_{ij}$\[ \left\{ \begin{array}{ll} 0&se\, i\neq j\\ 1&se\, i=j \\\end{array} \right. \]. Isto ´e, a identidade é uma matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por $I_n$.

Exemplo 6


classificação


Uma matriz é dita triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.

$\left ( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n} \\ 0 &a_{22}&\ldots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\ldots&a_{nn} \\ \end{array} \right) $

Se os elementos acima da diagonal principal são nulos, então a matriz é dita triangular inferior.

$\left ( \begin{array}{cccc} a_{11}&0&\ldots&0 \\ a_{21} &a_{22}&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn} \\ \end{array} \right) $

A matriz nula é uma matriz em que todos os elementos são nulos.

$\left ( \begin{array}{cccc} 0&0&\ldots&0 \\ 0 &0&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\ldots&0 \\ \end{array} \right) $

Exemplo 7

São matrizes identidade:

$I_1$=[1]

$I_2$= $\left ( \begin{array}{cc} 1&0 \\ 0 &1\\ \end{array} \right) $

$I_3$= $\left ( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0 &1&0\\ 0 &0&1\\ \end{array} \right) $

$I_4$= $\left ( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0 &1&0&0\\ 0 &0&1&0\\ 0 &0&0&1\\ \end{array} \right) $

De modo geral, sendo n um n´umero natural maior que 1, a matriz

identidade de ordem n é:

$I_n$= $\left ( \begin{array}{cccccc} 1&0&0&\ldots&0&0 \\ 0&1&0&\ldots&0&0 \\ 0&0&1&\ldots&0&0 \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ 0&0&01&\ldots&1&0 \\ 0&0&01&\ldots&01&1 \\ \end{array} \right) $

Definição A matriz nula em $M_{m\times n}(\Re)$ ´e a matriz de ordem m × n que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplo 8

Matriz nula $2\times3$:

$\left [ \begin{array}{ccc} 0&0&0 \\ 0 &0&0\\ \end{array} \right] $

Matriz nula 5 × 2:

$\left [ \begin{array}{cc} 0&0 \\ 0 &0\\ 0&0 \\ 0 &0\\ 0 &0\\ \end{array} \right] $

Matriz Oposta

Definição Dada A = ($a{ij}$) $\in$ $M_{m\times n}(\Re)$, a oposta de A é a matriz B = ($b{ij}$) $\in$ $M_{m\times n}(\Re)$ tal que $b_{ij}$ = $-a_{ij}$ , $\forall$ i $\in$ {1,$\ldots$ ,m},$\forall$ j $\in$ {1, $\ldots$ , n}. Ou seja, os elementos da matriz oposta de A s.ao os elementos opostos aos elementos de A. Representamos a oposta de A por -A.

Exemplo 9

A oposta da Matriz $A=\left [ \begin{array}{ccc} 3&-1 &0\\ 2&\sqrt{3} &4\\ 12&0 &-8\\ -6&10&-2\\ \end{array} \right] $

é a Matriz:

$-A=\left [ \begin{array}{ccc} -3&1 &0\\ -2&-\sqrt{3} &-4\\ -12&0 &8\\ 6&-10&2\\ \end{array} \right] $

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PERFIL DO PROFESSOR


Formado em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Federal do Pará (UFPA/UFRJ/Consórcio CEDERJ), Já atuei em Belém e Castanhal como professor de Cursinho e Concurso, Cursos preparatórios: Hertz e Liderança.


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