PRELIMINARES
PROPOSIÇÕES SIMPLES
Vamos, iniciar nossa aula online examinando alguns tópicos de Lógica bastante aplicados na matemática e fundamental para o entendimento dos assuntos aqui serão abordados.
1. PROPOSIÇÕES SIMPLES,
1 Proposições (sentenças, frases) são certas asserções feitas através de símbolos (lembremos que palavras também são símbolos).
Uma proposição deve:
a) apresentar-se na forma estruturada, com sujeito e predicado (como uma oração);
b) ser declarativa afirmativa;
c) obedecer aos dois princípios seguintes:
1º Princípio do terceiro excluído
"Uma proposição deve ser uma asserçao verdadeira ou falsa não havendo outra alternativa".
2º Principio de não contradição
"Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa". Exemplos e contra-exemplos:
1º) 3+4=7 (três mais quatro é igual a sete)
2º) 3 x 4 $\neq$ 15 (três multiplicado por quatro é diferente de quinze)
3º) O triângulo tem diagonal
4º) 5 > 8 (cinco e maior que oito)
5º) Brasília é a capital do Brasil
6º) 45 ê divisível por 3
são exemplos de proposições simples das quais só a 3? e a 4? são falsas. Não podem ser consideradas proposições:
7º) 2+5 (falta predicado)
8º) Pedro estuda Matemática? (oração interrogativa)
9º) x + 4 = 7 (não pode ser classificada em falsa ou verdadeira)
PROPOSIÇÃO COMPOSTO - CONECTIVOS.
A partir de proposições simples podemos formar outras com o emprego de símbolos lógicos tais como o conectivo e e o conectivo ou .
Conectivo e .
Colocando-se a palavra e (representada pelo símbolo $\wedge$ ) entre duas proposiçoes simples p e q, obtemos uma proposição composta $p\wedge q$.
Com o conectivo e realiza-se a conjunção das sentenças p e q, isto e, $p\wedge q$ é a asserçao pela qual se declara ao mesmo tempo p e q_.
Assim, por exemplo, indicando por p a proposição "tres e menor que quatro" e por q a proposição "quatro é menor que cinco", a proposição $p\wedge q$ será "três e menor que quatro é menor que cinco." Em resumo:
p: 3<4
q: 4<5
$p\wedge q$ 3<4 e 4<5
Outros exemplo
1º) p: o equilátero ABCD é retângulo
q: o equilátero ABCD tem os lados congruentes
$p\wedge q$ : o quadrilátero ABCD é retângulo e tem os lados congruentes
2º) p: Carlos estuda matemática
q: Carlos joga xadrez
$p\wedge q$ : Carlos estuda matemática e joga xadrez
3º) p :a seleção brasileira disputou a copa
q: a seleção da argentina não disputou a copa
$p\wedge q$ : a seleção brasileira disputou a copa e a argentina não
5. Para estabelecer se a preposição composta $p\wedge q$ é verdade, devemos utilizar o seguinte critério.
A conjunção $p\wedge q$ é verdadeira quando p e q são ambas verdadeiras. se ao menos uma delas for falsa então $p\wedge q$ é falsa.
Exemplos:
1º) p: 3<4 (Verdadeira)
q: 4<5 (Verdaeira)
$p\wedge q$ : 3<4 e 4<5 (são verdadeiras)
2º) p: a seleção brasileira disputou a copa (verdadeira)
q: a seleção brasileira não sofreu gols (falsa)
$p\wedge q$: a seleção brasileira disputou a copa e não sofreu gols (falsa)
3º) p: 12 é divisível por 5 (falsa)
q: 5² = 12 (falsa)
$p\wedge p$: 12 e divisível por 5 e 5² = 12 (falsa)
4º) A proposição composta:
$p\wedge p$: "ABCD e quadrado" significa que
$p\wedge q$:"ABCD tem os lados congruentes e ABCD tem os ângulos retos"
ou, ainda, significa que $p\wedge q$ : "ABCD e losango e ABCD é retângulo"
entao
p:"ABCD e losango"
q:"ABCD e retângulo"
Do critério estabelecido, resulta que "ABCD é quadrado" é verdadeira quando "ABCD é losango" e "ABCD é retângulo" são ambas verdadeiras.
5º) Se a e um número dado, a setença composta:
$p\wedge q$:"a e positivo e diferente de 2"
é verdadeira quando: p:"a. é positivo"
e verdadeira e também q: "a é diferente de 2"
é verdadeira
6. Conectivo ou
Colocando-se a palavra ou (representada pelo símbolo ) entre duas proposições simples e , obtemos uma proposição composta
Com o conectivo ou realiza-se a disjunção das sentenças p e q, isto e, $p\vee q$ e a asserçao pela qual se declara pelo menos uma das asserções p e q. Assim, por exemplo, indicando por p a proposição "três menor que quatro" e por q a proposição "oito e divisível por dois", a proposição $p\vee q$ será "três é menor que quatro ou oito é divisível por dois".
Em resumo:
p:3 <4
q: 8 e divisível por 2
$p\vee q$ 3 <4 ou 8 é divisível por 2
Eis outros exemplos:
1º) p:o triângulo ABC é triângulo retângulo
q:o triângulo ABC é triângulo isósceles
$p\vee q$ : o triângulo ABC é triângulo retângulo ou isósceles
2º) p :Pedro presta atenção à aula
q: Pedro conversa com o colega
$p\vee q$ :Pedro presta atenção a aula ou conversa com o colega
3º) p:o Palmeiras vence o Corintians
q:o Palmeiras empata com o Santos
$p\vee q$ :o Palmeiras vence o Corintians ou empata com o Santos
7. Para estabelecer se a proposição composta p V q é verdadeira, devemos utilizar o seguinte critério:
A disjunção $p\vee q$ é verdadeira quando pelo menos uma das proposições p, q é verdadeira;se ambas forem falsas então $p\vee q$ é falsa.
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Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
____________________________________________
α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ