EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

Seja A ($x_1$ ,$y_1$ , $z_1$ ) um ponto que pertence ao plano π e n⃗ =ai⃗ +bj⃗ +ck⃗ ,


sendo n⃗ ≠ (0, 0, 0) um vetor ortogonal ao plano.
O plano π pode ser definido como o conjunto de todos os pontos P (x, y, z) do
⃗⃗⃗⃗⃗ é ortogonal a n⃗ .
espaço, tais que o vetor $\overline{AP}$

O ponto P pertence a π se, e somente se:
n⃗ . $\overline{AP}$ = 0

Seja
n⃗ = (a, b, c)
e
$\overline{AP}$= P – A = (x, y, z) – ( $x_1$ ,$y_1$ , $z$ ) = (x – $x_1$ , y – $y_1$ , z – $z_1$ )

∴ (a, b, c) . (x – $x_1$ , y – $y_1$ , z – $z_1$ ) = 0
∴ a (x – $x_1$ ) + b (y – $y_1$ ) + c(z – $z_1$ ) = 0
∴ a x – a$x_1$ + b y – b$y_1$ + c z – c$z_1$ = 0
Fazendo – a$x_1$ – b$y_1$ – c$z_1$ = d
Temos:
a x + b y + c z + d = 0 que é a equação geral do plano ou equação
cartesiana do plano


d é o termo independente, uma constante que influencia na interseção
entre o plano e os eixos cartesianos.
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO: a x + b y + c z + d = 0

Exemplos:

1. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, – 5) e é ortogonal
ao vetor n⃗ = (1, 2, 6)
R: α: x + 2 y + 6 z + 19 = 0

2. Escreva a equação do plano π que contém o ponto A (– 3, 2, 0) e é paralelo
ao plano α: 4 x + 5 y – 7 z + 8 = 0.
R: π: 4 x + 5 y – 7 z + 2 = 0

3. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (– 1, 3, – 5) e é paralelo
aos vetores $\overline{u}$= (2, 4, 6) e v = (1, 0, 3).
R:α: 3 x – z – 2 = 0

4. Escreva a equação do plano mediador do segmento AB, dados A (2, – 1, 4)
e B (4, – 3, – 2).
R: α: x – y – 3z – 2 = 0

Resolução dos exercícios:
1. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, – 5) e é ortogonal
ao vetor n⃗ = (1, 2, 6)
Equação geral: a x + b y + c z + d = 0
(a, b, c) é o vetor normal
($x_1$ ,$y_1$ , $z_1$) é o ponto que pertence ao plano: A (3, 4, – 5)
d = – a$x_1$ – b$y_1$ – c$z_1$

∴ 1 x + 2 y + 6 z + [– 1 (3) – 2 (4) – 6 (– 5) ] = 0
∴ 1 x + 2 y + 6 z + [– 3 – 8 + 30 ] = 0
∴ A equação do plano é: x + 2 y + 6 z + 19 = 0

2. Escreva a equação do plano π que contém o ponto A (– 3, 2, 0) e é paralelo
ao plano α: 4 x + 5 y – 7 z + 8 = 0.
Se π é paralelo ao plano α, um vetor normal é (4, 5, – 7)
Então a equação do plano é: 4 x + 5 y – 7 z + [– 4 (– 3) – 5 (2) + 7 (0)] = 0
4 x + 5 y – 7 z + 12 – 10 = 0
4 x + 5 y – 7 z + 2 = 0

3. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (– 1, 3, – 5) e é paralelo
aos vetores $\overline{u}$= (2, 4, 6) e v = (1, 0, 3).
O vetor normal ao plano é o produto vetorial, ou produto externo entre u⃗ e v ,
ou seja,
n⃗ = (u⃗ x v )=$\begin{vmatrix}i⃗&j⃗ &k⃗ \\ 2 &4 & 3 \\ 1& 0& 3\end{vmatrix}$=(12 - 0) i⃗ – (6 – 6) j⃗ + (0 – 4)k⃗ = 12 i⃗ – 4 k⃗ = (12, 0, - 4)

1234∴ a equação do plano é: 12 x + 0 y – 4 z + [- 12 (- 1) – 0 (3) – (- 4) (- 5) ] = 0
12 x – 4 z + 12 – 20 = 0
12 x – 4 z – 8 = 0
α: 3 x – z – 2 = 0

4. Escreva a equação do plano mediador do segmento AB, dados A (2, – 1, 4)
e B (4, – 3, – 2).


O plano mediador de AB é o plano ortogonal a AB e que contém seu ponto
médio.
Logo, um vetor normal a este plano é
$\overline{AB}$= B – A = (4, – 3, – 2) – (2, – 1, 4) =
(2, – 2, – 6)

Um ponto do plano é

$\frac{A + B}{2}=\frac{2 + 4}{2}, \frac{− 1 +(−3)}{2}, \frac{4 +(−2)}{2}=\frac{6}{2},\frac{-4}{2},\frac{2}{2}$=(3 , − 2 , 1)
∴ a equação do plano é:

2 x – 2 y – 6 z + [– 2 (3) – (– 2) (– 2) – (– 6) (1) ] = 0

2 x – 2y – 6 z – 6 – 4 + 6 = 0

2 x – 2y – 6 z – 4 = 0 $\rightarrow$ x – y – 3z – 2 = 0

 Equação vetorial do plano

Seja A ($x_0$ , $y_0$ , $z_0$) um ponto do plano π e u⃗ = ($a_1$ , $b_1$ , $c_1$ ) e $\overline{v}$ = ($a_2$ , $b_2$ , $c_2$) dois vetores não paralelos pertencentes a esse plano.
Um ponto P (x, y, z) pertence ao plano π, se e somente se, existem números
reais h e k tais que:
$\overline{AP}$ = h u⃗ + k v

 (adição de vetores pela construção
paralelogramo)
Escrevendo a equação em coordenadas temos:
$\overline{AP}$ = h u⃗ + k v
P – A = h ($a_1$ , $b_1$ , $c_1$ ) + k ($a_2$ , $b_2$ , $c_2$ )


 (x, y, z) = ($x_0$ , $y_0$ , $z_0$ ) + h ($a_1$ , $b_1$ , $c_1$ ) + k($a_2$ , $b_2$ , $c_2$)
$\rightarrow$ equação vetorial do plano
Ou
(x, y, z) = ($x_0$+ h$a_1$ + k$a_2$ , $y_0$ + h$b_1$ + k$b_2$ , $z_0$ + h $c_1$+ k$c_2$ )$\rightarrow$ equação vetorial do plano
Os vetores $\overline{u}$ e $\overline{v}$ são chamados de vetores diretores do plano π.

Equações paramétricas do plano

$\begin{cases} x = x_0 + a_1h + a_2k\\ y = y_0 + b_1h + b_2k\\ z = z_0 + c_1h + c_2k \end{cases}$

Exemplos:
1. Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (2, 1,3) e é paralelo aos vetores u⃗ = (– 3, – 3, 1) e v = (2, 1, – 2).
2. Escreva as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos
A (5, 7, - 2), B (8, 2, - 3 ) e C (1, 2, 4).

Resolução dos exercícios:
1. Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A
(2, 1, 3) e é paralelo aos vetores u⃗ = (– 3, – 3, 1) e v = (2, 1, – 2).

 $\begin{cases} x = x_0 + a_1h + a_2k\\ y = y_0 + b_1h + b_2k\\ z = z_0 + c_1h + c_2k \end{cases}$

$\begin{cases} x = 2 -3h + 2k\\ y = 1 -3h + b_2k\\ z = 3 + 1h  -2k \end{cases}$

Se quisermos um ponto de plano, basta atribuir valores quaisquer para h e k.
Por exemplo: se h = 5 e k = 1, temos

$\begin{cases} x = 2 -3(5)+ 2(1)\rightarrow x=-11\\ y = 1 -3(5) + 1(1)\rightarrow y=-13\\ z = 3 + 1(5)  -2(1)\rightarrow z=6\end{cases}$

Logo, B (- 11, - 13, 6) é um ponto do plano.
Para descobrir a equação geral do plano:
O vetor normal ao plano é o produto vetorial, ou produto externo entre$\overline{u}$ e $\overline{v}$ ,
ou seja,
n⃗ = (u⃗ x v )=$\begin{vmatrix}i⃗&j⃗ &k⃗ \\-3  &-3& 1 \\ 2& 1& -2\end{vmatrix}$=(6-1) i – (6 – 2) j + (-3+6)k = 5i – 4j +3 k = (5,- 4,3)
∴ a equação do plano é: 5 x – 4 y + 3 z + [– 5 (2) – (– 4) (1) – 3 (3) ] = 0
5 x – 4 y +3z +[ – 10 +4 -9) = 0
5 x – 4 y +3 z – 5 = 0
α: 5 x – 4y +3z – 5 = 0

2. Escreva as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos
A (5, 7, - 2), B (8, 2, - 3 ) e C (1, 2, 4).

Primeiro descobrir se os pontos são colineares ou não.
Logo, det = 0 $\rightarrow$ colinearidade

$\left[ \begin{array}{ccccc} 5& 7 &-2 &5&7 \\ 8& 2 &−3&8&2\\ 1& 2& 4 &1& 2 \end{array} \right]$= 40 − 21 − 32 + 4 + 30 − 224 = −277 + 74 = −203

 Três pontos não colineares determinam um plano, assim:
 $\overline{u}=\overline{AB}=B – A = (8, 2, - 3) – (5, 7, - 2) = (3, - 5, - 1)$
 $\overline{v}=\overline{AC}=C – A = (1, 2, 4) – (5, 7, - 2) = (- 4, - 5, 6)$
Logo, as paramétricas desse plano, utilizando o ponto A são:

 $\begin{cases} x = 5 +3h -4k\\ y =7 -5h + -5k\\ z =-2-1h  +6k \end{cases}$

Exercícios: 

1. Escreva a equação do plano π que passa pelo ponto A (3, 1, - 4) e é
paralelo ao plano: α: 2 x – 3 y + z – 6 = 0
R: π: 2 x – 3 y + z + 1 = 0

2. Determine a equação geral do plano δ que passa pelo ponto A (2, 1, - 2) e é ortogonal à reta r: $\begin{cases} x = −4 + 3t \\y = 1 + 2t \\z=t\end{cases}$
R: δ: 3 x + 2 y + 1 z - 6 = 0

3. São dadas as equações paramétricas de um plano α:$\begin{cases}x =1 − 2u + v\\y=2 + u − 2v\\z =3+u \end{cases}$ Encontre a equação geral. R: α: 2x + y + 3z − 13 = 0

4. Ache a equação geral do plano que contém os pontos A (0, 4, 1) e B (- 1, 3, 2) e têm à direção do vetor $\overline{v}$= ( - 1, 3, 5). R: π: 2 x – y + z + 3 = 0

5. Determine a equação do plano que contém A (4, -1, 2) e é ortogonal ao vetor $\overline{v}$= ( - 2, 3, 1). R: – 2x + 3y + z + 9 = 0

6. Obtenha um vetor unitário ortogonal ao plano π: 2 x + y - z + 5 = 0
R: $\overline{n}$=($\frac{2}{\sqrt{6}}$,$\frac{1}{\sqrt{6}}$,$\frac{1}{\sqrt{6}}$)

7. Determine o valor de a para que o ponto P(a, 3, -1) pertença ao plano π: 2x + 11y + 8z = 27. R: a = 1

8. Determine as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa pelos pontos A (4, - 2, 1), B (- 1, 1, - 1) e C (3, 0, 2).

9. Encontre a equação geral do plano que passa por P (1, 2, - 3) e é paralelo ao plano yOz.

10. Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P (3, - 1, 2) e é
$\frac{x-1}{-2}=\frac{x+1}{1}=\frac{z-1}{-1}$ R: π: – 2 x + y – z + 9 = 0
11. Determine a equação geral do plano paralelo aos vetores u⃗ = (- 2, 0,1) e $\overline{v}$= (- 1, - 2, 1) e passa pelo ponto A(1, 1, 0). R: π: 2 x + y + 4 z – 3 = 0

12. Encontre a equação do plano α que passa pelos pontos M ($\frac{1}{2}$ , 0, 0),N (0,$\frac{1}{2}$, 0) e O(0, − $\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{2}$ ) R: α: 2 x + 2 y + 4 z – 1 = 0

13. Calcule o valor de k para que os planos π: 3x – y + z - 4 = 0 e α: k x + 3y – z – 2 = 0 sejam ortogonais. R: k=$\frac{4}{3}$

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