
Objetivos da Aula
Definir função e conhecer os seus elementos;
Reconhecer o gráfico de uma função;
Listar as principais funções e seus gráficos.
Funções
Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa a cada elemento x \in A um
único elemento y \in B. O conjunto A é chamado domínio da função f, às vezes denotado também por
D_f , e o conjunto B é chamado contradomínio da função f. Costuma-se representar uma função pela
seguinte notação:
f : A \rightarrow B Para afirmarmos que a um determinado x \in A está associado certo y \in B através da função f,
costumamos utilizar a notação:
y = f(x)
e dizemos que este y é a imagem de x por f. Denimos também o seguinte subconjunto do contradomínio,
chamado conjunto imagem da função f
Im_f = {y \inB | y = f(x), \in$A}: Isto é, o conjunto imagem de f é o conjunto de todas as imagens de pontos do domínio por f.
Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de fechas, como ilustrado a seguir
Representação de uma função por um diagrama de fechas
Observe que a cada elemento do domínio está associado um (e apenas um) elemento do contradomínio.
Por exemplo, seja A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} e considere que
f(1) = 2
f(2) = 3
f(3) = 4
f(4) = 5
f(5) = 6
Note que Imf = {2; 3; 4; 5; 6}. A representação dessa função pelo diagrama de fechas é feita da seguinte
forma:
Exemplo de uma função representada por um diagrama de fechas
Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a
seguinte tabela:
\begin{array}{cc}
\hline
hora & valor pago \\
\hline1 & 5 \\
2 & 10 \\
3 & 15
\end{array}
Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto
D = {1;2; 3}
vemos que a tabela o valor pago ( V) depende da hora (t) , Assim temos que V(t)=5t
em R, uma vez que para cada dia t \in D, existe um único valor correspondente de V (t) = Valor pago na hora t.
Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos
do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas propriadas é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela.
Contudo, tanto o diagrama de echas quanto a tabela de valores não são eficientes para representar uma função cujo domínio é um conjunto innito. Por isso, a representação gráfica de uma função é a melhor forma de visualizá-la e entender o seu comportamento. E, para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a definição de gráfico de uma função:
Definição 1. Seja f : A \rightarrow B uma função. O gráfico de f, denotado por G_f, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A \timesB:
G_f= {(x, f(x)) \inA \times B| x \in A}
O gráfico de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função pois, uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) pertencente ao gráco, é da forma y = f(x), podemos ler o valor f(x) como sendo a "altura"do ponto no gráfico acima de x.
Observe que cada ponto do gráco equivale a uma fecha associando a um elemento do domínio um elemento do contradomínio, como na figura abaixo:
Gráfico e Diagrama de Flechas
Note que a representação do gráfico da função como este equivale a representar "infinitas fechas"de forma sintética. Essa talvez seja a característica mais genial da representação gráca de uma função.
O gráfico também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f sobre o eixo y.
Assim como no diagrama de fechas, podemos determinar se uma curva desenhada no plano cartesiano xy é o gráfico de uma função ou não. Para isso, utilizamos o teste da reta vertical, descrito abaixo
\text{Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se, e somente se, nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez.}
Como exemplo, temos que o gráco abaixo é de uma função. Note que toda reta vertical (paralela ao eixo y) intersecta a curva em exatamente um ponto.
Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que é gráfico de uma função
A seguinte curva não é gráfico de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um ponto da curva.
Restrições no domínio
Quando não especificado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A \subset \mathbb{R} tal que a função esteja definida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações,pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo,
Exemplo 1. Considere a função dada por f(x) =\frac{1}{x^2-1}, Determine o seu domínio.
Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais, onde a função f esteja definida. Para isso, note que a função é dada por um quociente de funções. Com isso, note que a função no denominador não pode ser 0, pois não existe divisão por 0. Logo, os pontos onde a função não está definida são os valores que zeram a função x² - 1. Dessa forma, fazemos
x² - 1 \neq 0 \Rightarrow x² \neq 1 ) x \neq 1 e x \neq1
Logo, o domínio de f é o conjunto A ={x\in \mathbb{R} | x \neq 1 e x \neq1 }
Seja g(x) =\sqrt[4]{x^2-2x}
Determine o conjunto domínio de g.
Para isso, devemos notar que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio de g devem ser os números reais tais que x² - 2x\geq0. Logo,
x² - 2x \geq 0 \Rightarrow x(x - 2) \geq 0
Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos que
Estudo do Sinal de x(x - 2).
Logo, o domínio de g é o conjunto
A={x\in R x \leqslant 0 \,\,\text{ou}\,\,x\geq2} = (-\infty, 0] \cup [2,+\infty)Determine o domínio da função h(x)=\frac{2x - 4}{\sqrt{x^3-8}}
Note que no denominador, agora temos uma função raiz quadrada, logo, os valores reais que anulam ou que tornam a função x³ - 8 negativa não podem estar no domínio de h. Desse modo, calculamos
x³ - 8 > 0 \Rightarrow x³> 8 \Rightarrow x>\sqrt[3]{8} \Rightarrow x>2
Assim, o domínio de h é o conjunto D_h = {x \in \mathbb{R} |x > 2}.
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Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
____________________________________________
α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ