Cálculo 1 - Funções

Objetivos da Aula

Definir função e conhecer os seus elementos;

Reconhecer o gráfico de uma função;

Listar as principais funções e seus gráficos.

Funções

Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa a cada elemento x $\in$ A um

único elemento y $\in$ B. O conjunto A é chamado domínio da função f, às vezes denotado também por

$D_f$ , e o conjunto B é chamado contradomínio da função f. Costuma-se representar uma função pela

seguinte notação:

f : A $\rightarrow$ B Para afirmarmos que a um determinado x $\in$ A está associado certo y $\in$ B através da função f,

costumamos utilizar a notação:

y = f(x)

e dizemos que este y é a imagem de x por f. Denimos também o seguinte subconjunto do contradomínio,

chamado conjunto imagem da função f

$Im_f $= {y $\in$B$ | y = f(x), $\in$A}: Isto é, o conjunto imagem de f é o conjunto de todas as imagens de pontos do domínio por f.

Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de fechas, como ilustrado a seguir

 Representação de uma função por um diagrama de fechas

Observe que a cada elemento do domínio está associado um (e apenas um) elemento do contradomínio.

Por exemplo, seja A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} e considere que

f(1) = 2

f(2) = 3

f(3) = 4

f(4) = 5

f(5) = 6

Note que Imf = {2; 3; 4; 5; 6}. A representação dessa função pelo diagrama de fechas é feita da seguinte

forma:

Exemplo de uma função representada por um diagrama de fechas

Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a

seguinte tabela:

\begin{array}{cc}

\hline

hora & valor pago \\

\hline1 & 5 \\

2 & 10 \\

3 & 15

\end{array}

Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto

D = {1;2; 3}

vemos que a tabela o valor pago ( V) depende da hora (t) , Assim temos que V(t)=5t

em R, uma vez que para cada dia t $\in$ D, existe um único valor correspondente de V (t) = Valor pago na hora t.

Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos

do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas propriadas é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela.

Contudo, tanto o diagrama de echas quanto a tabela de valores não são eficientes para representar uma função cujo domínio é um conjunto innito. Por isso, a representação gráfica de uma função é a melhor forma de visualizá-la e entender o seu comportamento. E, para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a definição de gráfico de uma função:

Definição 1. Seja f : A $\rightarrow$ B uma função. O gráfico de f, denotado por $G_f$, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A $\times$B:

$G_f$= {(x, f(x)) $\in$A $\times$ B| x $\in$ A}

O gráfico de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função pois, uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) pertencente ao gráco, é da forma y = f(x), podemos ler o valor f(x) como sendo a "altura"do ponto no gráfico acima de x.

Entendendo f(x) como uma altura do ponto x no gráfico de f.

Observe que cada ponto do gráco equivale a uma fecha associando a um elemento do domínio um elemento do contradomínio, como na figura abaixo:

Gráfico e Diagrama de Flechas

Note que a representação do gráfico da função como este equivale a representar "infinitas fechas"de forma sintética. Essa talvez seja a característica mais genial da representação gráca de uma função.

O gráfico também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f sobre o eixo y.

Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu gráfico.

Assim como no diagrama de fechas, podemos determinar se uma curva desenhada no plano cartesiano xy é o gráfico de uma função ou não. Para isso, utilizamos o teste da reta vertical, descrito abaixo

$\text{Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se, e somente se, nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez.}$

Como exemplo, temos que o gráco abaixo é de uma função. Note que toda reta vertical (paralela ao eixo y) intersecta a curva em exatamente um ponto.

Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que é gráfico de uma função

A seguinte curva não é gráfico de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um ponto da curva.

Restrições no domínio

Quando não especificado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A $\subset$ $\mathbb{R}$ tal que a função esteja definida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações,pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo,

Exemplo 1. Considere a função dada por $f(x) =\frac{1}{x^2-1}$, Determine o seu domínio.

Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais, onde a função f esteja definida. Para isso, note que a função é dada por um quociente de funções. Com isso, note que a função no denominador não pode ser 0, pois não existe divisão por 0. Logo, os pontos onde a função não está definida são os valores que zeram a função x² - 1. Dessa forma, fazemos

x² - 1 $\neq$ 0 $\Rightarrow $ x² $\neq$ 1 ) x $\neq$ 1 e x $\neq$1

Logo, o domínio de f é o conjunto A ={x$\in$ $\mathbb{R}$ |  x $\neq$ 1 e x $\neq$1 }

Seja g(x) =$\sqrt[4]{x^2-2x}$

Determine o conjunto domínio de g.

Para isso, devemos notar que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio de g devem ser os números reais tais que x² - 2x$\geq$0. Logo,

x² - 2x $\geq$ 0 \Rightarrow x(x - 2) $\geq$ 0

Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos que

 Estudo do Sinal de x(x - 2).

Logo, o domínio de g é o conjunto

$A={x\in R x \leqslant 0 \,\,\text{ou}\,\,x\geq2} = (-\infty, 0] \cup [2,+\infty)$

Determine o domínio da função $h(x)=\frac{2x - 4}{\sqrt{x^3-8}}$

Note que no denominador, agora temos uma função raiz quadrada, logo, os valores reais que anulam ou que tornam a função x³ - 8 negativa não podem estar no domínio de h. Desse modo, calculamos

x³ - 8 > 0 $\Rightarrow$ x³> 8 $\Rightarrow$  x>$\sqrt[3]{8}$ $\Rightarrow$ x>2

Assim, o domínio de h é o conjunto $D_h$ = {x $\in$ $\mathbb{R}$ |x > 2}.