Transformações Lineares - Superior - Aula 2

 

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Dada uma matrix m×n A, vetores n×1 u e v, e um escalar c, segue-se das propriedades da multiplicação de matrizes que

$A(u+v) = Au+Av$ e $A(cu) = cAu$ .

De maneira geral, quando uma função possui as duas propriedades acima, dizemos que ela é linear. Definiremos agora as transformações lineares.

Definição 1

Uma transformação T é linear se:

1. $T(u+v) = Tu+Tv$, para todos u e v no domínio de T.

2. $T(cv) = cT(v)$, para todo v e para todo escalar c.

Em outras palavras, podemos dizer que uma transformação é linear quando preserva a soma de vetores e o produto de vetores por escalares.

Preservar a soma de vetores quer dizer que se somarmos os vetores primeiro (u+v) e, em seguida, aplicarmos T, obtendo

$T(u+v)$, o resultado é o mesmo que aplicarmos T aos vetores e depois somarmos os resultados $(Tu + Tv)$, isto é

$T(u+v) = Tu+Tv$.

Se A é uma matriz, u e v são vetores no domínio de $T = Ax$ e c é um escalar, então a propriedade A(u+v) = Au+Av mostra que T preserva a soma de matrizes e a propriedade

$A(cu)=cA(u)$ mostra que T preserva o produto por escalar. Portanto, toda transformação matricial  é linear.

Por outro lado, nem toda transformação linear de espaços vetoriais ´e matricial. Veremos um exemplo deste tipo abaixo. 

Já as transformações lineares de $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^m$ são sempre matriciais.

Seja T : V →W uma transformação linear, onde V e W são espaços vetoriais, e seja v ∈ V. Então

$T(0_V ) = T(0.v) = 0.T(v) = 0_W$ ,

onde $0_V$ indica o vetor nulo do espaço vetorial v e $0_W$ indica o vetor nulo do espac¸o vetoria W. Mostramos então que uma transformação linear T : V →W leva o vetor nulo de V no vetor nulo deW.

Outra propriedade muito utilizada é a seguinte:

$T(cv+du) = T(cv)+T(du) = cT(v)+dT(u)$ .

A dedução acima utiliza as duas propriedades que definem linearidade.

Observe que esta propriedade, sozinha, implica em linearidade.

Isto é, se uma transformação T satisfaz

$T(cv+du) = cT(u)+dT(v)$ ,

então ela é linear. Para ver isto, basta notar que fazendo c = d = 1 obtemos $T(u+v) = Tu+Tv$ (preservação da soma de vetores) e fazendo c = 1 e d = 0, obtemos $T(cu) = cT(u)$ (preservação do produto de vetores por escalares).

Aplicando sucessivamente o mesmo racioc´ınio acima, podemos mostrar que

$T(c_1v_1+···+c_kv_k) = c_1T(v_1)+···+c_kT(v_k)$,

onde $c_1, ··· , c_k$ são escalares e $v_1$, ··· , $v_k$ são vetores no domínio de T.

 Exemplo 

A transformação T : V →W dada por $T(x) = 0_W$  é linear.

Esta transformação, chamada transformação nula, leva todo vetor de V no vetor nulo deW.

 Exemplo 

Seja V um espaço vetorial qualquer, a transformação

T : V →V dada por $T(u) = u$ é linear. Esta transformação é chamada indentidade. Se $V = \mathbb{R}^n$, então a transformação linear dada pela matriz $I_n$, identidade de ordem n, é a transformação identidade de $\mathbb{R}^n$.

 Exemplo 

Seja  $r\,\in\,\mathbb{R}$. Mostre que a transformação T : $\mathbb{R}^n$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}^n$ dada

por $T(x) = rx$ é uma transformação linear.

Solução:

Sejam u,v $\in\mathbb{R}^n$ e c,d escalares. Então

$T(cu+dv)=r(cu+dv)=rcu+rdv=c(ru)+d(rv)=cT (u)+dT(v)$ .

Portanto T é uma transformação linear.

Se r = 0, então temos a transformação nula. Se r = 1, temos a transformação identidade. Se 0 ≤ r < 1, então dizemos que T é uma contraçãoo. Se r > 1, ent˜ao dizemos que T ´e uma dilatação. A figuraabaixo mostra a dilatação T(x) = 2x

Exemplo

A transformação $T : \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ dada por $T(x)=x+(1,0)$ não é linear. Para ver isto, basta notar que ela não leva o vetor nulo no vetor nulo. Esta ´e uma translação de vetores no $\mathbb{R}^2$.

Referências Bibliográficas:

Figueiredo, Luiz Manoel.

Álgebra Linear 1 : volume 2 / Luiz Manoel Figueiredo ; Marisa

Ortegoza da Cunha. - Rio de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2015.

ISBN: 978-85-458-0051-4

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exercícios. I. Cunha, Marisa Ortegoza da. II. Título.