TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Dada uma matrix m×n A, vetores n×1 u e v, e um escalar c, segue-se das propriedades da multiplicação de matrizes que
$A(u+v) = Au+Av$ e $A(cu) = cAu$ .
De maneira geral, quando uma função possui as duas propriedades acima, dizemos que ela é linear. Definiremos agora as transformações lineares.
Definição 1
Uma transformação T é linear se:
1. $T(u+v) = Tu+Tv$, para todos u e v no domínio de T.
2. $T(cv) = cT(v)$, para todo v e para todo escalar c.
Em outras palavras, podemos dizer que uma transformação é linear quando preserva a soma de vetores e o produto de vetores por escalares.
Preservar a soma de vetores quer dizer que se somarmos os vetores primeiro (u+v) e, em seguida, aplicarmos T, obtendo
$T(u+v)$, o resultado é o mesmo que aplicarmos T aos vetores e depois somarmos os resultados $(Tu + Tv)$, isto é
$T(u+v) = Tu+Tv$.
Se A é uma matriz, u e v são vetores no domínio de $T = Ax$ e c é um escalar, então a propriedade A(u+v) = Au+Av mostra que T preserva a soma de matrizes e a propriedade
$A(cu)=cA(u)$ mostra que T preserva o produto por escalar. Portanto, toda transformação matricial é linear.
Por outro lado, nem toda transformação linear de espaços vetoriais ´e matricial. Veremos um exemplo deste tipo abaixo.
Já as transformações lineares de $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^m$ são sempre matriciais.
Seja T : V →W uma transformação linear, onde V e W são espaços vetoriais, e seja v ∈ V. Então
$T(0_V ) = T(0.v) = 0.T(v) = 0_W$ ,
onde $0_V$ indica o vetor nulo do espaço vetorial v e $0_W$ indica o vetor nulo do espac¸o vetoria W. Mostramos então que uma transformação linear T : V →W leva o vetor nulo de V no vetor nulo deW.
Outra propriedade muito utilizada é a seguinte:
$T(cv+du) = T(cv)+T(du) = cT(v)+dT(u)$ .
A dedução acima utiliza as duas propriedades que definem linearidade.
Observe que esta propriedade, sozinha, implica em linearidade.
Isto é, se uma transformação T satisfaz
$T(cv+du) = cT(u)+dT(v)$ ,
então ela é linear. Para ver isto, basta notar que fazendo c = d = 1 obtemos $T(u+v) = Tu+Tv$ (preservação da soma de vetores) e fazendo c = 1 e d = 0, obtemos $T(cu) = cT(u)$ (preservação do produto de vetores por escalares).
Aplicando sucessivamente o mesmo racioc´ınio acima, podemos mostrar que
$T(c_1v_1+···+c_kv_k) = c_1T(v_1)+···+c_kT(v_k) $,
onde $c_1, ··· , c_k$ são escalares e $v_1$, ··· , $v_k$ são vetores no domínio de T.
Exemplo
A transformação T : V →W dada por $T(x) = 0_W$ é linear.
Esta transformação, chamada transformação nula, leva todo vetor de V no vetor nulo deW.
Exemplo
Seja V um espaço vetorial qualquer, a transformação
T : V →V dada por $T(u) = u$ é linear. Esta transformação é chamada indentidade. Se $V = \mathbb{R}^n$, então a transformação linear dada pela matriz $I_n$, identidade de ordem n, é a transformação identidade de $\mathbb{R}^n$.
Exemplo
Seja $r\,\in\,\mathbb{R}$. Mostre que a transformação T : $\mathbb{R}^n$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}^n$ dada
por $T(x) = rx$ é uma transformação linear.
Solução:
Sejam u,v $\in\mathbb{R}^n$ e c,d escalares. Então
$T(cu+dv)=r(cu+dv)=rcu+rdv=c(ru)+d(rv)=cT (u)+dT(v)$ .
Portanto T é uma transformação linear.
Se r = 0, então temos a transformação nula. Se r = 1, temos a transformação identidade. Se 0 ≤ r < 1, então dizemos que T é uma contraçãoo. Se r > 1, ent˜ao dizemos que T ´e uma dilatação. A figuraabaixo mostra a dilatação T(x) = 2x
Exemplo
A transformação $T : \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ dada por $T(x)=x+(1,0)$ não é linear. Para ver isto, basta notar que ela não leva o vetor nulo no vetor nulo. Esta ´e uma translação de vetores no $\mathbb{R}^2$.
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α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ