Transformaçôes Lineares - Nível Superior

 

TRANSFORMAÇÕES  MATRICIAIS Uma transformação matricial é uma função dada por T(x) = Ax, onde A  é uma matriz. Mais precisamente, seja A uma matriz m × n. Então a aplicação T : $\mathbb{R}^n$ → $\mathbb{R}^m$ dada por x → Ax é uma transformação matricial.

Exemplo

Seja

A=$\begin{bmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 &0\end{bmatrix}$

então, A induz a transformação matricial T : $\mathbb{R}^3$ → $\mathbb{R}^2$ , dada por x → Ax.

Por Exemplo , se x=$\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}$,  então

$A.x =\begin{bmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 &0\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\-1\end{bmatrix}$

Generalizando , se x=$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$, então:

$A.x =\begin{bmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 &0\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x_1+x_2+3x_3\\x_1+2x_2\end{bmatrix}$

EX2

 se A=$\begin{bmatrix}2&-1&2\\2&1&-1\end{bmatrix}$,  e b =$\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}$ , encontre um $X\in\mathbb{R}^3$ , tal que A.x=b

Solução Seja X=$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$ , então A.x=b, leva a 

$\begin{bmatrix}2&-1&2\\2&1&-1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}$

$\begin{cases} 2x_1-x_2+2x_3=2\\2x_1+x_2-x_3=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x_1-x_2=2-2x_3\\2x_1+x_2=2+x_3 \end{cases}$ 

Somando as duas equações , teremos;

$4x_1=4-x_3\Rightarrow x_1=1-\frac{x_3}{4}$

subtraindo as mesmas equações , chegaremos;

$2x_2=0+3x_3 \Rightarrow x_2=\frac{3x_3}{2}$

Portanto, todo vetor $x=\begin{bmatrix}1-\frac{x_3}{4}\\\frac{3x_3}{2}\\x_3\end{bmatrix}$  $x_3\in\mathbb{R}$ , é levado a b pela tranformação Matricial de $T=A.x$

EX3

Seja  A=$\begin{bmatrix}1&1\\2&1\\1&-1\end{bmatrix}$ . Determine a imagem de $T=Ax$

Solução: teremos que $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3$ , Seja u=$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$ e seja Tu=$\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$

Então

$\begin{bmatrix}1&1\\2&1\\1&-1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$

$\begin{cases} x_1+x_2=a\\2x_1+x_2=b\\x_1-x_2=c \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_1+x_2=a\\-x_2=b-2a\\-2x_2=c-a \end{cases}$ 

$\begin{cases} x_1=b-a\\x_2=2a-b\\0=c-a-2b+4a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_1=b-a\\x_2=2a-b\\0=3a-2b+c\end{cases}$ 

o que mostra que a matriz $Ax=b$ tem solução quando $3a-2b+c=0$ . Portanto, a aplicação dada pela matriz A leva $\mathbb{R}^2$ no plano $3x-2y+z$

 e b = , encontre um $X\in\mathbb{R}^3$ , tal que A.x=b

Solução Seja X=$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$ , então A.x=b, leva a 

$\begin{bmatrix}2&-1&2\\2&1&-1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}$

$\begin{cases} 2x_1-x_2+2x_3=2\\2x_1+x_2-x_3=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x_1-x_2=2-2x_3\\2x_1+x_2=2+x_3 \end{cases}$ 

Somando as duas equações , teremos;

$4x_1=4-x_3\Rightarrow x_1=1-\frac{x_3}{4}$

subtraindo as mesmas equações , chegaremos;

$2x_2=0+3x_3 \Rightarrow x_2=\frac{3x_3}{2}$

Portanto, todo vetor $x=\begin{bmatrix}1-\frac{x_3}{4}\\\frac{3x_3}{2}\\x_3\end{bmatrix}$  $x_3\in\mathbb{R}$ , é levado a b pela tranformação Matricial de $T=A.x$

Referências Bibliográficas:

Figueiredo, Luiz Manoel.

Álgebra Linear 1 : volume 2 / Luiz Manoel Figueiredo ; Marisa

Ortegoza da Cunha. - Rio de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2015.

ISBN: 978-85-458-0051-4

1. Álgebra linear. 2. Álgebra linear – Problemas, questões,

exercícios. I. Cunha, Marisa Ortegoza da. II. Título.