PROBABILIDADE e ESTATÍSTICA
ARMANDO ANDREAZZA- 2005 1
ESTATÍSTICA – GERAL a APLICADA - PROF ARMANDO ANDREAZZA - 2005 1
UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
1) PROBABILIDADE :
É o modelo matemático construído para estudar os fenômenos aleatórios. Sabemos da
importância dos experimentos da ciência e da engenharia.
2)FENÔMENOS:
A) DETERMINÍSTICOS:
São aqueles cujas mesmas causas geram os mesmos efeitos.
EX.: 1) fenômenos de física. 2) gravidade, corrente elétrica.
B) ALEATÓRIOS: (determinísticos ou estocásticos):
São aqueles cujas mesmas causas geram efeitos diferentes.
Ex.: 1) sorteios 2)loterias 3)produção de peças. 4) pesquisas 5) jogos de dados
3)EXPERIMENTOS: SÍMBOLO: E Experimentos: LANÇAR A MOEDA
: JOGAR UM DADO
- Se caracterizam pelo fato de não se poder dizem de antemão qual será o resultado que
acontecerá.
- o resultado só será conhecido após a realização do experimento, embora sejam conhecidos
antecipadamente os seus possíveis resultados.
Ex.: 1)lançamento de uma moeda: cara(C) e coroa(K) à {C,K}.
2)jogar um dado: pode resultar as faces à {1,2,3,4,5,6}.
3)máquina que fabrica parafusos: resultados à {defeituoso, não defeituoso}
4)medir "duração da vida” de uma lâmpada: à {0 < t < 6.000}
4) ESPAÇO AMOSTRAL: Símbolo: S No. de elementos do espaço: n(S).
É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório
Total de Resultados Possíveis: $2^n$
Ex.: 1) jogar um dado. S = {1,2,3,4,5,6} N(S) = 6
2) jogar duas moeda. S = {cc, ck, kc, kk} N(S) = 4
Nos exemplos, abaixo, calcule o valor de S e N(S):
1)Loteria Esportiva :_____________________
2)O sexo de um bebê no 1º mês de vida?:____________________________
3)Verificar fusível:____________________________________________________
4)Contagem de chamadas telefônicas p/hora.:_______________________________
5)Jogar 2 dados.:________________________________________________
5) EVENTOS : A,B,C,... Um evento é um subconjunto A do espaço amostral S, i.é, é um
conjunto de resultados possíveis. Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Ex.: Seja um DADO à eventos são as faces PARES.
Assim, se A e B são eventos, então
1. AU B é um evento “ A, ou b, ou ambos”.
2. A$\cap$B é o evento A e B.
3. $\overline{A}$ é o evento “não-A”.
4. A – B é o evento “A , mas não-B”.
6)TIPOS DE EVENTOS:
1–EVENTOS SIMPLES: formado por um elemento.
2-EVENTOS COMPOSTOS: formado por 2 ou + eventos
3-EVENTOS CERTOS: sempre ocorre na realização do evento
4-EVENTOS IMPOSSÍVEIS: nunca ocorre na real. do evento.
5-EVENTOS COMPLEMENTARES: é formado por todos os elementos do espaço
amostral(S), que não pertencem a “A”.
A $\cup$ $\overline{A}$ = S ou A $\cap$ A = 0
6-EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Não podem acontecer ao mesmo tempo e não
possuem elementos comuns.
Ex.: 1) Moeda: { Cara(C); Coroa(K)}
2) Fusível: { Queimado; Bom}
7- EVENTOS INDEPENDENTES: Podem acontecer simultaneamente, um não depende do outro.
Ex.: 1) duas moedas: cara(C) e coroa(K)
2) dois fusíveis: bom e bom.
8- EVENTOS DEPENDENTE OU CONDICIONAIS:
- Quando o aparecimento de um deles estiver condicionado, vinculado ou depender do aparecimento anterior do outro.
ex.:1) jogar 1 moeda e considerar 3 casos: 3 coroas sucessivas.
2) seja uma urna com 30 bolas: retirar uma bola supondo que seja impar: qual a prob. da próxima ser múltiplo de 3 ? de 5?
9-EVENTO SOMA: A+B OU A$\cup$B: é a união de dois ou mais conjuntos.
A = {2,3) B = {4} à AUB = {2,3,4}.
É o evento que ocorre se A ou B ou ambos ocorrem.
10-EVENTO PRODUTO: A $\cap$ B ou A int B
- É a interseção de conjuntos.
- É o evento que ocorre se A e B ocorrem.
- Ex.: lançar um dado :à A = {2,3,5} (Face com números primos)
B = {2} (par } à A inter B = {2} (Primo e Par)
CONCEITO DE PROBABILIDADE
Em qualquer experimento aleatório, há sempre uma incerteza quanto a ocorrência, ou não, de determinado evento.
- Seja o espaço amostral S. A probabilidade de ocorrer o evento A. P(A) é uma função definida no S(espaço amostral) que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas:
I) $\boxed{0\leq P(A)\leq{1}}$
II) P(C) = 1
III) P(I) = 0
IV) P(A$\cupB)=P(A)+P(B)
Para eventos mutuamente exclusivos (A/\B = 0)
DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE:
$\boxed{P(A)=\frac{n(A)}{n(B)}}$
onde:
n(A): Número de casos possíveis
n(B): Números de casos favoráveis
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE – PROCESSO DE FREQÜÊNCIA
$P(A)=Lim\frac{f}{N}\,\,onde\,\,N\rightarrow\infty$
Se após N repetições de um experimento se observam fi repetições de um determinado evento então
a probabilidade é fi/n ou fi = fi/n ou $P(A)=\frac{f_i}{n}$
TEOREMAS PRINCIPAIS
I)TEOREMAS DA SOMA:
1º) P( A $\cup$ B ) = P(A) + P(B) $\rightarrow$ para dois eventos mutuamente excludentes
2º) P( A $\cup$ B ) = P(A) + P(B) – P( A $\cap$ B ) quando A$\cap$ B $\neq$ 0 $\rightarrow$ eventos quaisquer
II) TEOREMAS DO PRODUTO
3º) P( A $\cap$ B ) = P(A).P(B) $\rightarrow$ INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTCA.
4º) P( A $\cap$ B ) = P(A) P(B/A) $\rightarrow$ PROBABILIDADE CONDICIONAL
P( A $\cap$ B ) = P(B) P(A/B)
$\boxed{P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\Rightarrow P(A\cap B)=P(B).P(A/B)}$
$\boxed{P(B/A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\Rightarrow P(A\cap B)=P(A).P(B/A)}$
$P(\overline{A})=1-P(A)$
OBS.: Para 3 eventos quaisquer: A, B e C
1) $P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)- P(A \cap C)-P(B \cap C)+-P(A \cap B \cap C)$
2) Para quaisquer eventos A e B:
$\boxed{P(A)=P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B} )}$
VI) TEOREMA DE BAYES
Se A1, A2,...,An, N eventos mutuamente exclusivos, cuja união é o espaço amostral S, isto é, um
dos eventos deve necessariamente ocorrer, então, se A é um evento, temos o seguinte teorema:
$\boxed{P(A_i)=\frac{P(A_i).P(B/A_i)}{P(A_i).P(B/A_i)+\dots+P(A_n).P(B/A_n)}}$
Ex.: 1- Tomamos duas caixas iguais. Na 1ª há 3 bolas brancas e 7 pretas e na 2ª. 1 branca e 4 pretas.
Escolhe-se uma caixa ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que é branca.
Qual é a probabilidade de que a caixa de onde foi extraída a bola seja a 1.ª?
$\begin{array} {|r|r|}\hline COR/CAIXA & CAIXA 1 & CAIXA 2 \\ \hline BRANCA & 3 & 1 \\ \hline PRETA & 7 & 4 \\ \hline \end{array}$
1º à SELECIONAR A BOLA BRANCA
2º à P(C1), P(C2): SELECIONAR CAIXA.
$P(C_1) =\frac{1}{2}$.
$P(C_2)=\frac{1}{2}$.
$P(B/C_1)=\frac{3}{10}$
$P(B/C_2)=\frac{1}{5}$.
$\boxed{P(C_1/B)=\frac{P(C_1).P(B/C_1)}{P(C_1).P(B/C_1)+\dots+P(C_2).P(B/C_2)}}$
$P(C_1/B)=\frac{\frac{1}{2}.\frac{3}{10}}{\frac{1}{2}.\frac{3}{10}+\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}=\frac{3}{5}=0,6$
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Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
____________________________________________
α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ