Neste artigo quero falar um pouco sobre as propriedades da Matemática relevante para que o estudante entenda a manipulação da matemática básica.
Potenciação
O que é preciso saber (passo a passo)
Seja:
$$\Large\,a_{(base)}^{n{(expoente)}}$$
Ex 1 ) 23 = 2 . 2 . 2 = 8$$
Traduzindo: base 2 elevado ao expoente 3 obtemos a potência 8.
Ex 2 ) (-2)3= (-2) . (-2) . (-2) = -8
Traduzindo: base (-2) elevado ao expoente 3 obtemos a potência –8
Veja:
-23, é o mesmo que -1 . 23= -1 . 8 = -8
-22, é o mesmo que(-1 . 2)2=[-12. 22 ] = 1 . 4 = 4
Então fica fácil explicar porque:
$-2^2\neq\,(-2)^2$
Exercício:
Será que a afirmação (-2)n=-2n é verdadeira para todo “n” natural?
É óbvio que o sinal da potência vai depender da análise, ou seja, se “n”é par ou ímpar.
1º Caso: Se “n” é par temos:
$$(-2)^n=-2^n$$
$$[(-1).2]^2=-1^2$$
$$(-1)^n\,.2^n=-1^2$$
$$+2^n =-2^n$$ isso é um absurdo!!!
$$+2^n\neq\,-2^n$$ se "n" for par!
1º Caso: Se “n” é par temos:
$$(-2)^n=-2^n$$
$$[(-1).2]^2=-1^2$$
$$(-1)^n\,.2^n=-1^2$$
$$-2^n =-2^n$$ isso é válido!!!
$$-2^n=\,-2^n$$ se "n" for ímpar!
Propriedades da potenciação
Propriedade: em produtos de mesma base , conserva-se a base e somam-se os expoentes:
$$a^m . a^p = a^{m+p}$$
Veja:
Então fica fácil explicar porque:
$-2^2\neq\,(-2)^2$
Exercício:
Será que a afirmação (-2)n=-2n é verdadeira para todo “n” natural?
É óbvio que o sinal da potência vai depender da análise, ou seja, se “n”é par ou ímpar.
1º Caso: Se “n” é par temos:
$$(-2)^n=-2^n$$
$$[(-1).2]^2=-1^2$$
$$(-1)^n\,.2^n=-1^2$$
$$+2^n =-2^n$$ isso é um absurdo!!!
$$+2^n\neq\,-2^n$$ se "n" for par!
1º Caso: Se “n” é par temos:
$$(-2)^n=-2^n$$
$$[(-1).2]^2=-1^2$$
$$(-1)^n\,.2^n=-1^2$$
$$-2^n =-2^n$$ isso é válido!!!
$$-2^n=\,-2^n$$ se "n" for ímpar!
Propriedades da potenciação
Propriedade: em produtos de mesma base , conserva-se a base e somam-se os expoentes:
$$a^m . a^p = a^{m+p}$$
Veja:
$$a^{m+p} = a^m . a^p$$
$$2^{n+3} = 2^n . 2^3 = 2^n . 8$$
$$2^{n+p+q} = 2^n . 2^p . 2^q$$
Obs: caso existir uma série de termos, não se esqueça de colocar o termo comum em evidência.
Ex: $$2^{n+2} + 2^{n+3} + 2^{n+1}$$
$$2^n . 2^2 + 2^n . 2^3 + 2^n . 2^1$$
$$2^n( 2^2 + 2^3 + 2)$$
$$2^n(14)$$
Facilita e muito a análise das propriedades se você escolher números que podem ser representados na mesma base. Na multiplicação, use:
$$2^{n+3} = 2^n . 2^3 = 2^n . 8$$
$$2^{n+p+q} = 2^n . 2^p . 2^q$$
Obs: caso existir uma série de termos, não se esqueça de colocar o termo comum em evidência.
Ex: $$2^{n+2} + 2^{n+3} + 2^{n+1}$$
$$2^n . 2^2 + 2^n . 2^3 + 2^n . 2^1$$
$$2^n( 2^2 + 2^3 + 2)$$
$$2^n(14)$$
Facilita e muito a análise das propriedades se você escolher números que podem ser representados na mesma base. Na multiplicação, use:
8 . 4
9 . 27
5 . 25
9 . 27
5 . 25
Os quais serão convertidos em:
$$8 . 4 = 2^3 . 2^2 = 25$$
$$9 . 27 = 3^2 . 3^3 = 35$$
$$5 . 25 = 5^1 . 5^2 = 53$$
Propriedade: em divisão de potência de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
$$8 . 4 = 2^3 . 2^2 = 25$$
$$9 . 27 = 3^2 . 3^3 = 35$$
$$5 . 25 = 5^1 . 5^2 = 53$$
Propriedade: em divisão de potência de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
$$\frac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$$
Exemplo:
$$\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2}=a^3$$
Interessantíssimo: você sabe o porquê de todo número elevado a zero ser igual a 1?
$$a^0= 1 (a\neq0)$$
Para você provar, basta representar uma fração onde o numerador e o denominador sejam iguais.
EX:
$$\frac{8}{8}=1\,aplicando\,a\,propriedade\,\frac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$$
Interessantíssimo: você sabe o porquê de todo número elevado a zero ser igual a 1?
$$a^0= 1 (a\neq0)$$
Para você provar, basta representar uma fração onde o numerador e o denominador sejam iguais.
EX:
$$\frac{8}{8}=1\,aplicando\,a\,propriedade\,\frac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$$
$$\frac{8^1}{8^1}=a^{1-1}$$
$$8^0=1$$
Conclusão: $$a^0 = 1$$ é uma consequência da propriedade
Propriedade: $$(a^m)^p = a^{m.p}$$
O expoente nos diz quantas vezes à base será multiplicada.
Ex: $(a^3)^2 = a^6$
ou
$$(a^3)^2 = a^3 . a^3 = a^{3+3} = a^6$$
Ex: $$(a^2)^4 = a^8$$
ou
$$(a^2)^4 = a^2 . a^2 . a^2 . a^2 = a^8$$
Propriedade: $$( a^m . b^p )^q = a^{m.q} . b^{p.q}$$
Ex: (23.52)4=212.58
Interessantíssimo: em física e química é comum às operações básicas serem efetuadas através de potência de 10.
Obs1: o coeficiente da potência de 10 sempre deverá ser um número no intervalo de 1 a 9. p . 10n,
isto é, 1 < p < 9.
Obs2: não confunda com (am+ bp)q, nesse caso a propriedade acima não é válida, mas é uma caso de potenciação aplicado em bimonio de Newton que veremos mais a frente!!
Exercício
$$I-Simplifique\,a-b\neq\,0$$
$$a-(a^2.b^3)^2.(a^3b^2)^3$$
$$b-\frac{(a^4.b^2)^3}{(a.b^2)^2}$$
$$c-[(a^3.b^2)^2]^3$$
II- Calcule
a- $$3^{-1}$$b-$$(-2)^{-1}$$c-$$-3^{-1}$$d-$$(-3)^{-1}$$
e-$$\left ( \frac{2}{3} \right )^{-1}$$\\\\\\\\\f-$$\left ( \frac{-3}{2} \right )^{-3}$$
g-$$(0,25)^{-3}$$\\\h-$$(-0,5)^{-3}$$
g-$$(0,25)^{-3}$$\\\h-$$(-0,5)^{-3}$$
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α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ