Matrizes são objetos matemáticos organizados em linhas e colunas. Por exemplo, podemos colocar os dados referentes a altura, peso e idade de uma família de cinco pessoas descritos na tabela:
altura (metros)
|
peso (quilogramas
|
Idade (anos)
| |
João (pai)
|
1,82
|
93
|
62
|
Mariana (mãe)
|
1,70
|
70
|
60
|
Jorge (irmão)
|
1,85
|
80
|
35
|
Marina (irmã)
|
1,74
|
78
|
33
|
Júnior (irmão)
|
1,80
|
75
|
30
|
Cada um dos seus elementos tem dois índices (ai j). O primeiro índice i indica à linha e o segundo índice j a coluna. O número de linhas e colunas que uma matriz tem chama dimensão da matriz. A matriz ao lado tem m linhas e n colunas e dizemos que ela tem dimensão m x n (m por n) e a representamos por A = (ai j) m x n. Quando o número de linhas é igual ao número de colunas dizemos que a matriz é de ordem n e a chamamos de matriz quadrada.
A importância dos índices da linha-
e coluna-
é fundamental para localizarmos a posição do número na matriz como pode ser visto nas próximas figuras: A Figura 1 exibe o elemento 
localizado na interseção da Linha 4 (L4) e da Coluna 3 (C3) enquanto a Figura 2 mostra o elemento 
que está na Linha 2 (L2) e na Coluna 5 (C5).
e coluna- é fundamental para localizarmos a posição do número na matriz como pode ser visto nas próximas figuras: A Figura 1 exibe o elemento localizado na interseção da Linha 4 (L4) e da Coluna 3 (C3) enquanto a Figura 2 mostra o elemento que está na Linha 2 (L2) e na Coluna 5 (C5).  |  |
Figura 1
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Figura 2
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A matriz da Figura 3, possui dimensão 6 x 4 (6 linhas e 4 colunas) e mostra o elemento a53 = -2 localizado na linha 5 e na coluna 3.
Você pode clicar sobre a figura para acessar a ferramenta computacional denominada de MPD - Material Pedagógico Digital para ver outros exemplos, fazer exercícios e fixar os conceitos.
Figura 3
Tipos de Matrizes
As matrizes são classificadas em diversos tipos, dependendo da sua dimensão e também dos elementos que a forma. A identificação dos tipos de matrizes irá facilitar os cálculos matemáticos e os conhecimentos de suas propriedades são bastante úteis nas aplicações. São de especiais interesse a classe das matrizes quadradas, e nesta classe, alguns tipos particulares.
A figura 4, mostra uma Matriz Triangular Superior A (os elementos abaixo da diagonal principal são zeros) com Dim A = 4 x 4 e identifica ainda o elemento a12 = 30 (localizado na linha 1 e na coluna 2). Clicando sobre a figura você pode manipular o MPD que permite observar as características de algumas matrizes quadradas, fazer exercícios para fixar as definições e estudar suas propriedades.
Figura 4
A Figura 5 mostra uma lista dos principais tipos de matrizes e suas definições. Para manipular o MPD, basta dar um clique na figura 5.
Figura 5
Operações com matrizes
Soma de matrizes
Dadas duas matrices 
e 
de dimensão 
, a matriz 
é outra matriz 
de mesma dimensão, de modo que cada elemento 
da matriz 
, é obtido como: 
. Ou seja, para que duas matrices 
e 
possam serem somadas têm que ter a mesma dimensão e neste caso, somamos os elementos que ocupam a mesma posição.
e de dimensão , a matriz é outra matriz de mesma dimensão, de modo que cada elemento da matriz , é obtido como: . Ou seja, para que duas matrices e possam serem somadas têm que ter a mesma dimensão e neste caso, somamos os elementos que ocupam a mesma posição.
Propriedades da soma de matrizes
1ª Comutativa: 
2ª Associativa: 
3ª Elemento neutro: 
( matriz zero o matriz nula ).
( matriz zero o matriz nula ).
4ª Elemento simétrico: 
( matriz oposta da A ).
( matriz oposta da A ).
A oposta da matriz obtém-se trocando o sinal de todos os elementos da matriz : 
obtém-se trocando o sinal de todos os elementos da matriz : Subtração de Matrizes
A subtração de matrizes é um caso particular de da soma. Subtrair duas matrizes é o mesmo que somar a primeira pela oposta da segunda: A - B = A + ( -B ). Dadas duas
matrizes A = (aij) e B = (bij) de dimensão m x n, a matriz A - B é uma outra matriz D = (dij) de mesma dimensão, de modo que cada elemento dij da matriz D, é obtida
como dij = aij - bij
A Figura 1 abaixo, mostra o resultado da soma de duas matrizes além das suas dimensões e a operação que deu como resultado o elemento da segunda linha e terceira coluna. Clique na figura para manipular o MPD que certamente será útil para a fixação das operações:
Figura 1 : Gerador de somas e subtrações de matrizes
O MPD acima gera matrizes de forma aleatória. Mas você pode digitar suas próprias matrizes utilizando o MPD da Figura 2.
Produto de um número real por uma matriz
Dado um número real k e uma matriz A = (aij) de dimensão m x n, definimos o produto do número real k pela matriz A, como outra matriz P = (pij) da mesma dimensão que
A, de modo que cada elemento pij de P é obtida como: pij = k.aij.
Propriedades do produto de um número real por uma matriz (verifique todas estas propriedades, utilizando o MPD disponível ao clicar na figura abaixo)
Sejam A e B matrizes de mesma dimensão e k e h números reais. Temos as propriedades:
1ª Distributiva com respeito a soma de matrizes
k . ( A + B ) = k . A + k . B
2ª Distributiva com respeito a soma de números reais:
( k + h ) . A = k . A + h . A
3ª Associativa mista (entre números e matrizes):
( k . h ) . A = k . ( h . A )
4ª Elemento neutro: 1 ( número real 1 ) 1 . A = A
A Figura 3 abaixo, mostra o resultado do produto do escalar 4 por uma matriz. Fornece ainda a dimensão da matriz e mostra a operação do escalar 4 pelo elemento da segunda linha e terceira coluna. Clique na figura 3 para manipular o MPD, como nos casos acima:
A última figura desta seção mostra o produto 0.75 por uma matriz. Clique na Figura 4 e você tem um MPD que permite alterar o escalar bem como a matriz, de acordo com o seu interesse.
Figura 4: Produto de números por matrizes
Utilize os MPD's deste artigo para verificar as propriedades e as soluções de exercícios. Bons estudos
Produto de Matrizes
Vetores são matrizes. O produto escalar de vetores, no caso do R2, é definido da seguinte forma: Se u = (a , b) e v = (c , d) são dois vetores, o produto escalar é: u . v = a . c + b . d.Vendo como matriz, podemos definir o produto de uma matriz linha por uma matriz coluna:
É evidente que o número de elementos da matriz linha tem que ser igual ao número de elementos da matriz coluna. 
Produto de Matrizes
O produto de matrizes não está definido em todos os casos. Para que duas matrizes possam ser multiplicadas é necessário que o número de colunas da primeira matriz coincida com o número de linhas da segunda matriz, ou seja, se a matriz A = ( aij ) tem dimensão m x n e a matriz B = ( bij ) tem dimensão p x q, para que se possa efetuar o produto A . B é necessário que n = p.
Por outro lado, a matriz produto P = ( pij ) terá dimensão m x q, ou seja, o número de linhas da matriz A e número de colunas da matriz B. Cada elemento pij da matriz P é obtida multiplicando a linha i da matriz A pela coluna j da matriz B, seguindo o procedimento descrito no caso anterior.
De um modo geral, temos o produto das matrizes, dado por
Propriedade do produto de Matrizes
Sejam A, B e C matrizes. Sempre que seja possível efetuar os produtos indicados, de acordo com a definição do produto de matrizes,, temos as propriedades:
1ª Associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )
2ª Elemento neutro: I ( matriz identidade o unitária) A . I = I . A = A
3ª Distributiva com relação a soma A . ( B + C ) = A . B + A . C
4ª O produto de matriz não é, comutativo: A . B ≠ B . A
5ª Matriz Inversa: Dada una matriz quadrada A, se existe outra matriz B que verifique A . B = B . A = I (matriz identidade), então dizemos que B é a matriz inversa de A e representamos por A-1. ( A . A-1 = A-1 . A = I ).
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Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
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α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ