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25 abril 2013

Definição e tipos de matrizes
 Matrizes são objetos matemáticos organizados em linhas e colunas. Por exemplo, podemos colocar os dados referentes a altura, peso e idade de uma família de cinco pessoas descritos na tabela:

 
 altura (metros)
peso  (quilogramas 
Idade (anos) 
João (pai)  
 1,82
 93
 62
Mariana (mãe)
 1,70
 70
 60
Jorge (irmão)
 1,85
 80
 35
Marina (irmã)
 1,74
 78
 33
Júnior (irmão)
 1,80
 75
 30

Cada um dos seus elementos tem dois índices (ai j). O primeiro índice indica à linha e o segundo índice j a coluna.  O número de linhas e colunas que uma matriz tem chama  dimensão da matriz. A matriz ao lado tem m linhas e n colunas e dizemos que ela tem dimensão   m x n (m por n) e a representamos por A = (ai jm x n.    Quando o número de linhas é igual ao número de colunas  dizemos que a matriz é de ordem n  e a chamamos de matriz quadrada
im1.png

 A importância dos índices da linha-i e coluna-j é fundamental para localizarmos a posição do número na matriz como pode ser visto nas próximas figuras: A Figura 1 exibe o elemento a_{43}=7 localizado na interseção da Linha 4 (L4) e da Coluna 3 (C3) enquanto a Figura 2 mostra o elemento a_{25}=-6 que está na Linha 2 (L2) e na Coluna 5 (C5).  

  
 Figura 1
 Figura 2

A matriz da Figura 3, possui dimensão 6 x 4 (6 linhas e 4 colunas) e mostra o elemento a53 = -2  localizado na linha 5 e na coluna 3
Você pode clicar sobre a figura para acessar a ferramenta computacional denominada de  MPD - Material Pedagógico Digital  para ver outros exemplos, fazer exercícios e fixar os conceitos.

Clique para acessar o MPD

   Figura 3


Tipos de Matrizes

As matrizes são classificadas em diversos tipos, dependendo da sua dimensão e também dos elementos que a forma. A identificação dos tipos de matrizes irá facilitar os cálculos matemáticos e os conhecimentos de suas propriedades são bastante úteis nas aplicações. São de especiais interesse a classe das matrizes quadradas, e nesta classe, alguns tipos particulares.

A figura 4, mostra uma Matriz Triangular Superior A (os elementos abaixo da diagonal principal são zeros) com Dim A = 4 x 4 e identifica ainda o elemento a12 = 30 (localizado na linha 1 e na coluna 2). Clicando sobre a figura você pode manipular o MPD que permite observar as características de algumas matrizes quadradas, fazer exercícios para fixar as definições e estudar suas propriedades.  
Tipos de Matrizes
Figura 4

Figura 5 mostra uma lista dos principais tipos de matrizes e suas definições. Para manipular o MPD, basta dar um clique na figura 5. 
Tipos de Matrizes 2 
Figura 5
Operações com matrizes 

 Soma de matrizes  

Dadas   duas  matrices  A=(a_{ij}) e  B=(b_{ij})  de   dimensão  m x n,  a  matriz   A + B  é outra matriz  S = (s_{ij})  de  mesma dimensão, de modo que cada elemento  s_{ij} da matriz  S, é obtido como:  s_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.  Ou seja, para que duas matrices  A  e  B  possam serem somadas têm que ter a mesma dimensão e neste caso, somamos os elementos que ocupam a mesma posição.

fig3.png

Propriedades da soma de matrizes
1ª  Comutativa:    A + B = B + A
2ª  Associativa:    ( A + B ) + C = A + ( B + C )
3ª  Elemento neutro:   0  ( matriz zero o matriz nula ).
0 + A = A + 0 = 0
4ª  Elemento simétrico:  - A   ( matriz oposta da A ).
A + (-A ) = (-A ) + A = 0
A oposta da matriz  A  obtém-se trocando o sinal de todos os elementos da matriz  A:  - (a_{ij}) = (-a_{ij}).


Subtração de Matrizes

A subtração de matrizes é um caso particular de da soma. Subtrair duas matrizes é o mesmo que somar a primeira pela oposta da segunda:  A - B  =  A + ( -B )Dadas   duas  
matrizes A = (aij)   e  B = (bij)  de  dimensão  m x n,  a matriz  A - B  é uma outra matriz  D = (dij)  de mesma dimensão, de modo que cada elemento  dij  da matriz  D, é obtida
como  dij = aij - bij

fig4.png

A Figura 1 abaixo, mostra o resultado da soma de duas matrizes além das suas dimensões  e a operação que deu como resultado o elemento da segunda linha e terceira coluna. Clique na figura para manipular o MPD que certamente será útil para a fixação das operações:

Gerador de soma de matrizes

O MPD acima gera matrizes de forma aleatória. Mas você pode digitar suas próprias matrizes utilizando o MPD da Figura 2.

soma de matrizes

 Produto de um número real por uma matriz

Dado um número real  k  e uma matriz  A = (aij)  de dimensão  m x n,  definimos o produto do número real   pela matriz  A, como outra matriz  P = (pij)  da mesma dimensão que 
A, de modo que cada elemento  pij  de  P  é obtida como:  pij = k.aij.

fig5.png

Propriedades do produto de um número real por uma matriz  (verifique todas estas propriedades, utilizando o MPD disponível ao clicar na figura abaixo)
Sejam  A  e  B  matrizes de mesma dimensão  e  k  e   números reais. Temos as propriedades:
1ª  Distributiva com respeito a soma de matrizes
 k . ( A + B ) = k . A + k . B
2ª  Distributiva com respeito a soma de números reais:
( k + h ) . A = k . A + h . A
3ª  Associativa mista (entre números e matrizes)
( k . h ) . A = k . ( h . A )
4ª  Elemento neutro:  1   ( número real  1 ) 1 . A = A

A Figura 3 abaixo, mostra o resultado do produto do escalar 4 por uma matriz. Fornece ainda a dimensão da matriz e mostra a operação do escalar 4 pelo elemento da segunda linha e terceira coluna. Clique na figura 3 para manipular o MPD, como nos casos acima:


Produto de número por matrizes

A última figura desta seção mostra o produto 0.75 por uma matriz. Clique na Figura 4 e você tem um MPD que permite alterar o escalar bem como a matriz, de acordo com o seu interesse.


Produto de números por matrizes 

Utilize os  MPD's deste artigo para verificar as propriedades e as soluções de exercícios.  Bons estudos

 Produto de Matrizes
Vetores são matrizes. O produto escalar de vetores, no caso do  R2, é definido da seguinte forma: Se  u = (a , b)  e  v = (c , d)  são dois vetores, o produto escalar é:  u . v = a . c + b . d.Vendo como matriz, podemos definir o produto de uma matriz linha por uma matriz coluna:
É evidente que o número de elementos da matriz linha tem que ser igual ao número de elementos da matriz coluna. 
Produto de matrizes

Produto de Matrizes
O produto de matrizes não está definido em todos os casos. Para que duas matrizes possam ser multiplicadas é necessário que o número de colunas da primeira matriz coincida com o número de linhas da segunda matriz, ou seja, se a matriz  A = ( aij )  tem dimensão   m x n   e a matriz  B = ( bij )  tem dimensão  p x q,  para que se possa efetuar o produto  A . B  é necessário que  n = p
Por outro lado, a matriz produto  P = ( pij )  terá dimensão  m x q, ou seja, o número de linhas da matriz  A  e número de colunas da matriz  B. Cada elemento  pij  da matriz  P  é obtida multiplicando a linha   da matriz  A  pela coluna  j  da matriz  B, seguindo o procedimento descrito no caso anterior.

De um modo geral, temos o produto das matrizes, dado por
 

Propriedade do produto de Matrizes
Sejam  AB  e  C  matrizes. Sempre que seja possível efetuar os produtos indicados, de acordo com a definição do produto de matrizes,, temos as propriedades:
1ª  Associativa:    ( A . B) . C = A . ( B . C )
2ª  Elemento neutro:   I   ( matriz identidade o unitária)       A . I = I . A = A
3ª  Distributiva com relação a soma  A . ( B + C ) = A . B + A . C
4ª   O produto de matriz não é, comutativo:  A . B  ≠  B . A
5ª  Matriz Inversa:  Dada una matriz quadrada  A, se existe outra matriz  B  que verifique  A . B  =  B . A = I  (matriz identidade), então dizemos que  B  é a matriz inversa de  A  e representamos por  A-1.     ( A . A-1 = A-1 . A = I ).





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Olá Pessoal pessoal se você gostou da postagem me mande um email para sugestão ou perguntas fmbacelar@gmail.com

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α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ

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