Um cientista tirou duas medidas das grandezas x e y, obtendo os pares $(x_1, y_1) = (3, 1) e (x_2, y_2) = (4, 3)$. Pela teoria, essas grandezas deveriam ser proporcionais, isto é, deveria existir “a” tal que y = a . x , mas isso não ocorreu no experimento. Como ele acha que foi por causa dos erros experimentais, então achou “a” que dá o menor valor possível para $(y_1 – a . x_1)^2+(y_2 – a . x_2)^2$. O valor de a que o cientista encontrou foi:
(B)$\frac{2}{3}$
(C) $\frac{2}{5}$
(D) $\frac{3}{4}$
(E))$\frac{4}{7}$
Solução: (A)
$(y_1 - a.x_1)^2 + (y_2 - a.x_2)^2 = (1 - 3a)^2+ (3 - 4a)^2$
$(y_1 - a.x_1)^2 + (y_2 - a.x_2)^2 = (1 - 3a)^2+ (3 - 4a)^2$
= 1 - 6a +9a² +9 - 24a+ 16a² = 25a² - 30a +10
Temos uma equação do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola, e como a > 0, a concavidade desta parábola é voltada para cima. Como a esta multiplicando $x_1 e x_2$, devemos calcular o x no vértice, pois neste local temos o valor mínimo desta equação:
$x_v = –\frac{ b}{2 . a} = –\frac{(– 6)}{(2 . 5}=\frac{6}{10} =\frac{3}{5}$
(I) MÉTODO
f(a) = 25a² - 30 a +10
Derivando, temos: 50a - 30 Logo: 50a - 30 = 0 implica a =$\frac{3}{5}$
(II) MÉTODO
25a² - 30a +10 ( equação do 2º grau)
Usando vértice da parábola , a > 0 temos valor mínimo
$V=-\frac{-b}{2a}$ implica $V=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$
Disponível em <http://www.profmat-sbm.org.br/default.asp>. Acessado em: 27 de janeiro de 2.011.
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Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
____________________________________________
α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ