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20 junho 2013





Números Reais - Parte 01

Geometria Analítica
  • Conjuntos numéricos;
  • Operações no conjunto dos números reais;
  • Propriedades das desigualdades e do módulo ou valor absoluto de um número real e intervalos.
  • Noção de sistema de coordenadas cartesianas.
  • Curvas principais: a reta, a parábola, a circunferência, elipse de hipérbole
Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido de recordar o que você, meu caro estudante, já aprendeu no ensino fundamental e ensino médio.









Números Reais - Parte 02

Conjuntos Numéricos:
Números naturais:
O conjunto é denominado conjunto dos números naturais.
Números inteiros:
O conjunto  é denominado conjunto dos números inteiros.
Números racionais:
São todos os números fracionários, que têm o numerador e o denominador (diferente de zero) pertencentes ao conjunto . Simbolicamente

Números Reais - Parte 03

Números irracionais:
São os números que não são racionais, mas podem ser “encontrados na reta.” Por exemplo:
2 = 1,41421 ... ,
π = 3,14159 ... ,
e = 2,718282 ...
Denotaremos por , o conjunto dos números irracionais.
Números reais:
É a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, que será denotada por , ou seja,  . Como a matemática elementar envolve números reais, devemos estar familiarizados com algumas propriedades fundamentais do sistema de números reais. Observe, atentamente, cada uma dessas propriedades dadas a seguir:
P1. Fechamento: Se a , b  , então existe um e somente um número real denotado por a + b , chamado soma de a e b e existe um e somente um número real, denotado por a × b chamado produto de a por b.

Números Reais - Parte 04

P2. Comutatividade: Se a , b  então:
a + b = b + a e a × b = b × a .
P3. Associatividade: Se a, b, c  então:
a + (b + c) = (a + b) + c e a × (b × c) = (a × b) × c .
P4. Distributividade: Se a, b, c  então:
a × (b + c) = a × b + a × c .
P5. Existência de elementos neutros: Existem 0 e 1  tais que:
a + 0 = a e a × 1 = a ,  a  .
P6. Existência de simétricos: Todo a  tem um simétrico, denotado por −a , tal que: a + (−a) = 0 .

Números Reais - Parte 05

P7. Existência de inversos: Todo a  , a ≠ 0 , tem um inverso, denotado
por , tal que:
Usando as propriedades P6 e P7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.
P8. Subtração: Se a , b  , a diferença entre a e b , denotada por a − b , é definida por:
a − b = a + (−b) .
P9. Divisão: Se a , b  e b ≠ 0 , o quociente de a por b é definido por:


Números Reais - Parte 07

Desigualdades
A sucessão de pontos na reta real, da esquerda para a direita, corresponde a uma parte importante da álgebra dos números reais, a que trata das desigualdades.
O significado geométrico da desigualdade a < b (leia-se “a menor que b”) é simplesmente que a está à esquerda de b ; a desigualdade equivalente b > a(leia-se “ b maior que a ”) significa que b está à direta de a. Um número a é positivo ou negativo conforme a > 0 ou a < 0 . Se você quer dizer que a é positivo ou igual a zero, escreve-se a ≥ 0 e lê-se “ a maior ou igual a zero”. Do mesmo modo, a ≥ b significa que a > b ou a = b . Assim, 5 ≥ 3 e 5 ≥ 5 são desigualdades verdadeiras.
Assim como o conjunto dos números Reais, as Desigualdades também apresentam propriedades fundamentais, dadas a seguir.

Números Reais - Parte 08
Propriedades das desigualdades - Para quaisquer números reais a, b, c e d, valem as propriedades:
P1. a < b ⇒ a + c < b + c , para qualquer real c .
Por exemplo, 3 < 5 ⇒ 3 + 4 < 5 + 4 .
P2. a < b e c < d ⇒ a + c < b + d .
Por exemplo, 6 < 8 e 5 < 7 ⇒ 6 + 5 < 8 + 7 .
P3. a < b e b < c ⇒ a < c .
Por exemplo, 5 < 9 e 9 < 11 ⇒ 5 < 11.
P4. a < b e c > 0 ⇒ a × c < b × c .
Por exemplo, 4 < 6 e 3 > 0 ⇒ 4 × 3 < 6 × 3 .
P5. a < b e c < 0 ⇒ a × c > b × c .
Por exemplo, 4 < 6 e −3 < 0 ⇒ 4 × (−3) > 6 × (−3) .
P6. 0 < a < b e 0< c < d ⇒ a × c < b × d .
Por exemplo, 0 < 4 < 7 e 0 < 5 < 8 ⇒ 4 × 5 < 7 × 8 .


Números Reais - Parte 09

Módulo ou valor absoluto
Dado um número real a , o módulo ou valor absoluto é definido por:
Por exemplo:

Números Reais - Parte 10

Podemos observar que
(a) para qualquer número real a tem-se  ;
(b)  para qualquer real a ;
(c) geometricamente, o valor absoluto de um número real a , é distância de a até zero;
(d) para qualquer número real a tem-se: , a raiz quadrada de qualquer número real, quando existe, é maior ou igual a zero. Logo, 
Números Reais - Parte 11

Propriedades do Valor Absoluto
Valem as seguintes propriedades do valor absoluto:
P1.  se e somente se, 
P2.  se e somente se, 
P3.  se e somente se, 
P4.  se e somente se, 
P5.  para quaisquer 
P6. para 
P7. Para quaisquer  vale a desigualdade triangular:
Números Reais - Parte 12

Intervalos
Um conjunto I de números reais é denominado intervalo quando, dados com  , valer a implicação  . Os intervalos podem ser limitados ou ilimitados.
Intervalos limitados
(i) Fechado: 
(ii) Aberto: 
(iii) Semi-abertos:
 e

Números Reais - Parte 13

Intervalos Ilimitados
(i) Fechados:
 e
(ii) Abertos:
 e
(iii) Aberto e Fechado: 

Números Reais - Parte 14

Veja a representação de intervalos na reta real:
Figura 1.2
 Figura 1.3
 Figura 1.4
Resolver uma desigualdade consiste em determinar o conjunto dos números reais que tornam verdadeira a desigualdade proposta. Para isto, você usa as propriedades das desigualdades (e do módulo quando este estiver envolvido).
A partir de agora você, irá acompanhar a resolução de alguns exercícios. Nosso intuito é que você compreenda a resolução de exercícios sobre desigualdades e potencialize seu entendimento para os exercícios e/ou desafios propostos posteriormente.


Números Reais - Parte 15

Exemplo 1.1 Resolver a desigualdade 
Resolução: Pela propriedade P3, do módulo, temos:
 ou seja,
 e 
 e 
 e 
Portanto,  ou ainda 
Números Reais - Parte 16

Exemplo 1.2 Resolver a desigualdade 
Resolução: Pela propriedade P1, do módulo, temos:
 ou 
 ou 
 ou 
Portanto,  ou 




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Olá Pessoal pessoal se você gostou da postagem me mande um email para sugestão ou perguntas fmbacelar@gmail.com

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α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
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√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ

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