Propriedades Operatórias das Derivadas

Regra do produto



Aplicação:
1. Determine a derivada da função$f(x) = (2x^2 - 1) . (x^3 + 3)$.
Fazendo pela regra do produto teremos:
$f'(x)=(2x^2 - 1)\frac{d}{dx}(x^3 + 3)+(x^3 + 3)\frac{d}{dx}(2x^2 - 1)$
$f'(x)=(2x^2 - 1).3x^2+(x^3 + 3).4x$
$f'(x)=6x^4-3x^2+4x^4+12x$
$f'(x)=10x^4-3x^2+12x$
$f'(x)=x(10x^3-3x+12)$

Diferencie a função $f(t)=\sqrt{t}.(1-t)$

Derivada do Quociente de Funções ou Regra do Quociente

Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis. Se fizermos previamente a conjectura que a função quociente $F =\frac{f}{g}$ é diferenciável, então não é difícil achar uma fórmula para F’ em termos de f’ e g’.
Uma vez que $F(x) =\frac{f(x)}{g(x)}$, podemos escrever f(x) = F(x)g(x) e aplicar a Regra do Produto:
Resolvendo essa equação para F’(x), obtemos
Se f e g forem diferenciáveis, então

   Se  f ( x ) = c ,  então  f ´ ( x ) = 0

( vi )  Se  f ( x ) = x ,  então  f ´ ( x ) = 1

( vii ) Se  f ( x ) = x ⁿ   e   n  é  um  número  racional ,  então  f ´ ( x ) = n x ^n – 1 .

Derivada de Uma Função Composta ou Regra da Cadeia

A  Regra  da Cadeia :     

    Se  u  é  derivável  em  a ,  f  derivável  em  u ( a ) ,  então  a  função  composta  f o u  é  derivável  em  a  e 

       

Exemplo 

    Usando  a  Regra  da  Cadeia ,  derive  a  função  H (  x  ) = ( 2 x + 1 ) ⁹  .