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21 junho 2013

Determine a derivada segunda da função:
y \, = \, x \cdot \sqrt[3]{x \, + \, 2}


A primeira derivada a gente calcular pela regra do produto:

y'=(x)'\cdot\sqrt[3]{x+2}+x(\sqrt[3]{x+2})'. A derivada (\sqrt[3]{x+2})' fazemos pela regra da cadeia:

g(y_0)=\sqrt[3]y_0
y_0=f(x)=x+2

(\sqrt[3]{x+2})=g(f(x))\Rightarrow g'(f(x))=g'(y_0)\cdot f'(x)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{y_0^2}}\cdot 1=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}

Ou seja, a primeira derivada é \sqrt[3]{x+2}+\dfrac{x}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}

Vamos calcular a derivada disso:

\left(\sqrt[3]{x+2}+\dfrac{x}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}\right)'=(\sqrt[3]{x+2})'+\left(\dfrac{x}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}\right)'

A derivada da primeira parcela sai pela regra da cadeia como fizemos anteriormente: (\sqrt[3]{x+2})'=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}

A derivada da segunda parcela sai pela regra do quociente:

\left(\dfrac{x}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}\right)'=\dfrac{(x)'3\sqrt[3]{(x+2)^2}-x\left(3\sqrt[3]{(x+2)^2}\right)'}{\left(3\sqrt[3]{(x+2)^2}\right)^2}=\dfrac{3\sqrt[3]{(x+2)^2}-3x\dfrac{2x+4}{3\sqrt[3]{(x+2)^4}}}{\left(3\sqrt[3]{(x+2)^2}\right)^2}

=\dfrac{3\sqrt[3]{(x+2)^2}-\dfrac{2x^2+4x}{(x+2)\sqrt[3]{x+2}}}{9(x+2)\sqrt[3]{x+2}}=\dfrac{\dfrac{3(x+2)^2-2x^2-4x}{(x+2)\sqrt[3]{x+2}}}{9(x+2)\sqrt[3]{x+2}}=\dfrac{x^2+8x+12}{9(x+2)^2\sqrt[3]{(x+2)^2}}\\ \\ \\ =\dfrac{(x+2)(x+6)}{9(x+2)^2\sqrt[3]{(x+2)^2}}=\dfrac{x+6}{9(x+2)\sqrt[3]{(x+2)^2}}.
Terminamos a derivada da segunda parcela.

Basta calcular agora:

\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}+\dfrac{x+6}{9(x+2)\sqrt[3]{(x+2)^2}}=\dfrac{3(x+2)+(x+6)}{9(x+2)\sqrt[3]{(x+2)^2}}=\dfrac{4x+12}{9(x+2)\sqrt[3](x+2)^2}}

=\boxed{\dfrac{4x+12}{9\sqrt[3]{(x+2)^5}}}


Por Cassio

http://www.tutorbrasil.com.br/forum
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Olá Pessoal pessoal se você gostou da postagem me mande um email para sugestão ou perguntas fmbacelar@gmail.com

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____________________________________________


α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ

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