Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais e Logarítmicas ENEM 2014

Vestibular e ENEM

Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais
e Logarítmicas

1. Funções Afins e Quadráticas 

Definições Elementares

Uma função real é um objeto matemático que, a cada número x de um subconjunto A dos números reais, associa um único número f (x ) de um subconjunto B dos números reais. Em outras palavras:

f : A → B é função ⇔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B ; y = f (x ).

O conjunto A é chamado de domínio da função f ; o conjunto dos números reais contido em B que estão associados por f é chamado o conjunto imagem (ou simplesmente, a imagem) de f ; e o conjunto B é chamado de contradomínio da função.

As seguintes notações foram estabelecidas:

1. f : A → B para dizer que se trata da função real cujo domínio é o conjunto A.

2. x → f (x ) para dizermos que f associa o número f (x ) ∈ B ao número x ∈ A.

3. Dom(f ) representa o domínio de f , e CD(f ) o contra-domínio.

4. Im(f ) representa a imagem de A, e se C ⊂ A, indicaremos por f (C ) o conjunto dos números f (x ), com x ∈ C , que é chamado de imagem de C .

Neste primeiro tema, detalharemos duas funções especiais, a saber: a Função Afim e a Função Quadrática. Antes disto, vejamos as seguintes definições:


1.1 Função Par

Dizemos que uma função f : (−c , c ) → R é uma função par, se
 f (−x ) = f (x ), ∀ x ∈ (−c , c ).

Um exemplo bem simples de função par é f (x ) =$x^2$. Seu gráfico é
exibido ao lado.








De fato, o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Ou ainda:
f (−x ) = $(−x )^2$ = $x^2 $= f (x ).


1.2 Função Ímpar



Dizemos que uma função f : (−c , c ) → R é uma função ímpar, se f (−x ) = −f (x ), ∀ x ∈ (−c , c )


A função g (x ) =$ x^3$ é um exemplo de função ímpar, pois, g (−x ) = $(−x )^3$ = $−x^3$= −g (x ).


Nota 1. Uma função pode não satisfazer uma destas duas definições. De fato, seja a função definida por h(x ) = x −$ x^2$ . Assim,

h(−x ) =−x − $(−x )^2$= −x − $x^2$ $\neq$h(x )

h(-x) = −x − $x^2$ $\neq$−x + x 2 = −h(x )


Nota 2. Qualquer função com domínio simétrico em relação à origem pode ser escrita como soma de uma função par com uma função ímpar:

em que a função f_P (x ) é uma função par e f_l (x ) é uma função ímpar. Verifique!
Se considerarmos a função h(x ) = x − $x^2$, exibida acima, então,

ou seja, h(x ) = f_P (x ) + f_l (x ).


1.3 Função Crescente

Uma função f é crescente se ∀ a, b ∈ Dom(f ), a < b , então f (a) < f (b ).


1.4 Função Decrescente

Uma função f é decrescente se ∀ a, b ∈ Dom(f ), a < b , então f (a) > f (b ).


1.5 Função Sobrejetora


Uma função é sobrejetora quando todo o contradomínio possui um elemento correspondente em seu domínio, isto é, o conjunto imagem e o contradomínio são coincidentes. Em símbolos, se f : A → B , então:
∀ y ∈ B , ∃ x ∈ A; y = f (x ).



1.6 Função Injetora

Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, elementos distintos no domínio possuem, como imagem, elementos distintos no contradomínio. Em símbolos:
x₁ , x₂ ∈ A, x₁$\neq$x₂, ⇒ f (x₁)$\neq$f(x₂ ).

Nota 3. Uma outra maneira de exibir esta mesma condição é a através da sua contra-positiva, ou seja,
f (x₁) = f (x₂) ⇒ x₁=x₂ .

Esta expressão afirma que cada elemento y da imagem da função f provém de um único elemento x do seu domínio. Uma maneira visual de interpretar este fato é pelo chamado teste da linha horizontal. Se a linha interceptar o gráfico da função em
mais de um ponto, então existem pontos distintos no domínio tal que suas imagens são iguais.

1.7 Função Bijetora

Uma função é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Deixamos a representação simbólica deste conceito como exercício.


1.8 Função Inversa
Este é um conceito aplicável somente às funções bijetoras. Seja f : A → B uma função bijetora, ou seja, para cada y ∈ B , existe exatamente um valor x ∈ A tal que y = f (x ). Assim, podemos definir uma função g : B → A tal que x = g (y ). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f , a
qual denotaremos por f⁻¹. Em outras palavras:
 f⁻¹ :B→ A
 y → x = f⁻¹(y )

 1.9 Função Periódica

Dizemos que uma função f é periódica se existe um número real p = 0 tal que f (x + p ) = f (x ) para todo x ∈ Dom(f ). O menor número p que satisfaz f (x + p ) = f (x ) é chmado de período da função f . O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento |p |.

Vemos que as funções f (x ) = sen(x ) e g (x ) = cos(x ) são funções periódicas de período 2π.

A figura ao lado ilustra o gráfico de uma função periódica de período 4.




 1.10 Exercícios

1.1. Para que valor de x , f (x ) =$\sqrt{x + 2}$ é igual a 6? e 0?

1.2. Verifique que a correspondência entre os valores x e y = f (x ), dados pelos conjuntos abaixo, não definem uma função.


a) R₁= {(x , y ) ∈ Z × Z;$x^2$ + $y^2$ = 4}


b)R₁= {(x , y ) ∈ N × Z; x − $y_^2$ = 0}

c)$R_{3}\left\{(x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\,\frac{x}9^{2}+ \,\frac{y}4^{2}\right \}$

(d) R₄ = {(x , y ) ∈ N × Z; x 2 − $y^2$= 0}