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04 setembro 2013




Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo:
Equação Segundo Grau
onde a, b e c são números conhecidos com a 0.
Exemplos:
1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5)
2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0)
3º) 4x2– 11 = 0 (a = 4, b = 0 e c = –11)
A – Resolução da equação do 2º grau
Exemplos:
1º) Resolver em R a equação:
x2-16=0
Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente b é igual a zero por isto ela é chamada de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:
x2-16=0 x2=16
x2-16=0 x = –4 ou x = +4

Assim: Equação do Segundo Grau

2º) Resolver em R a equação:
x2 + 11x = 0
Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente c é igual a zero e por isto ela é chamada, também, de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:
x2 + 11x = 0 x(x + 11) = 0

x2 + 11x = 0 x = 0 ou x + 11 = 0

x2 + 11x = 0 x = 0 ou x = –11

Assim: Equaçao do Segundo Grau

3º) Resolver em R a equação:
x2 + 4x + 4 = 16
Observemos que x2 + 4x + 4 é, na sua forma fatorada, é igual a (x + 2)2, então:
x2 + 4x + 4 = 16 passa a ser (x + 2)2 = 16
Assim:
x2 + 4x + 4 = 16 (x + 2)2 = 16

x2 + 4x + 4 = 16 x + 2 = –4 ou x + 2 = 4

x2 + 4x + 4 = 16 x = –6 ou x = 2
Assim: Equação do Segundo Grau

4º) Resolver em R a equação:
x2– 6x + 5 = 0
Observemos que x2– 6x + 5 não é um quadrado perfeito, donde se conclui que o procedimento utilizado no exemplo anterior não poderá repetido. Não poderá ser repetido a menos que façamos algumas modificações na equação, como veremos a seguir:
x2é “o quadrado do primeiro”, 6x é “duas vezes o primeiro (que é x) pelo segundo”, logo, o segundo só poderá ser o número 3 e, assim, “o quadrado do segundo será igual a 9”. Como o quadrado perfeito só aparecerá se tivermos x2 – 6x + 9, acrescentaremos aos dois membros da igualdade o número 9.
Assim:
x2 – 6x + 5 = 0 x2– 6x + 5 + 9 = 9

x2– 6x + 5 = 0 x2– 6x + 9 = 4

x2– 6x + 5 = 0 (x – 3)2 = 4

x2– 6x + 5 = 0 x – 3 = –2 ou x – 3 = 2

x2 – 6x + 5 = 0 x = 1 ou x = 5
Assim: Equação Segundo Grau
B – Fórmula de Bhaskara
Vamos resolver a equação: ax2 + bx + c = 0, que é a forma geral da equação do 2º grau.
Inicialmente multiplicamos os dois membros da igualdade por a. Teremos:
a2x2+ abx + ac = 0
Notemos que a expressão:
Equação Segundo Grau
é um quadrado perfeito e, assim podemos acrescentar aos dois membros da igualdade o número Equação Segundo Grau.
a2x2 + abx + Equação Segundo Grau = Equação Segundo Grau
Logo:
Equação Segundo Grau
Chamando b2– 4ac de discriminante da equação do 2º grau, que será representado pela letra grega delta (delta), teremos:
Equação Segundo Grau

Dessa forma, resolvemos a equação do 2º grau com os coeficientes literais a, b e c o que nos permite estabelecer uma fórmula já nossa conhecida, chamada “fórmula de Bhaskara” a qual resolverá qualquer equação do 2º grau, bastando substituir os coeficientes pelos números na equação a resolver.
Equação Segundo Grau

Exemplo
Resolver em R a equação
5x2– 12x + 4 = 0
temos, a = 5, b = –12 e c = 4
substituindo na fórmula de Bhaskara.
Equação Segundo Grau

Observação: Se a equação não estiver na forma ax2 + bx + c = 0 deve ser preparada através das operações conhecidas tais como eliminação de denominadores, retirada de parênteses, dentre outras.
C. Discussão do Número de Soluções da Equação do 2º Grau
Quando resolvemos uma equação do 2º grau, já colocada na sua forma normal é importante observar que três casos podem surgir em relação ao cálculo do discriminante. Observe:
1º caso: > 0 A equação terá duas raízes reais e distintas.
Exemplo
Resolver em R:
Equação Segundo grau
2º caso: = 0 A equação terá duas raízes reais e iguais.
Exemplo
Resolver em R:
Equação Segundo grau
3º caso: < 0 A equação não terá raízes reais.
Exemplo
Equação Segundo grau

Equação do Segundo Grau: Relação entre coeficientes e as raízes


As equações do 2º grau, ax2 + bx + c = 0 (a 0) , possuem duas notáveis relações entre as raízes x1 e x2 e os coeficientes a, b e c.
São chamadas de relações de Soma e Produto ou relações de Girard.
Consideremos a equação do 2º grau:
ax2 + bx + c = 0, com a 0 e com as raízes:
Equaçao segundo grau
Podemos estabelecer:
1º) A soma das raízes da equação do 2º grau por meio da relação:
Equaçao Segundo Grau

2º) O produto das raízes da equação do 2º grau através da relação:
Equaçao Segundo Grau
A partir desses valores e, dividindo a equação ax2 + bx + c = 0 pela constante a (coeficiente de x2), teremos a equação apresentada pela igualdade:
Equaçao Segundo Grau
em que S é a soma de suas raízes e P é o produto delas.
Podemos dar a essa nova apresentação da equação do 2º grau duas utilizações práticas:
1º ) Determinar uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7.
Tendo as raízes, podemos determinar:
S = 2 + 7 = 9 e P = 2 · 7 = 14
Com esses valores, podemos montar a equação:
Equaçao Segundo Grau
que é uma das equações do 2º grau cujas raízes são 2 e 7.

2º ) Resolver a equação do 2º grau:
x2– 7x + 12 = 0.
Pela observação da sentença que representa a equação, temos:
S = 7 e P = 12.
Basta, agora, com um “pouquinho” de criatividade, reconhecer dois números cuja soma é 7 e o produto é 12.
Claro que já percebemos que os números são 3 e 4. Portanto:
Equaçao Segundo Grau
2. Resolvendo Equações com Mudança de Variável
Freqüentemente nos deparamos com equações que, mesmo não sendo do 2º grau, podem ser resolvidas com o auxílio dela. Nessas situações, devemos nos valer de mudanças nas variáveis da equação de tal forma que ela se transforme, temporariamente, numa equação do 2º grau, como nos exemplos que veremos a seguir:
Exemplo 1
Resolver a equação:
x4 – 3x2 – 4 = 0
Notemos que esta é uma equação de quarto grau, porém com uma característica particular: apresenta apenas os termos de grau par.
Se fizermos:
x2 = y
teremos:
y2 – 3y – 4 = 0
Resolvendo esta equação, teremos:
y1 = –1 e y2 = 4
Considerando que y está ocupando o lugar de x2, teremos:
x2 = –1 ou x2 = 4
Considerando , teremos:
x = – 2 ou x = 2
Assim sendo:
Equação Segundo Grau

Exemplo 2
Resolver a equação:
(x2 + x)2 – 14 (x2 + x) + 24 = 0
Evidentemente, os produtos e as potências indicados podem ser desenvolvidos originando uma equação do quarto grau com uma certa complexidade na sua resolução. Observemos, por outro lado, que a expressão (x2 + x) se apresenta na equação mais de uma vez. Podemos tomar a iniciativa de substituí-la por uma única incógnita.
Se fizermos:
x2 + x = m
teremos:
m2 – 14m + 24 = 0
A resolução desta equação nos leva a dois valores de m: 2 e 12, que são, portanto, os valores de x2 + x.
Logo:
x2 + x = 2 ou x2 + x = 12
Assim, determinaremos duas equações do 2º grau:
x2 + x – 2 = 0
e
x2 + x – 12 = 0
cujas soluções representarão as soluções da equação original. Assim sendo, e pela resolução destas equações, teremos:
Equação Segundo Grau
Reações:


Olá Pessoal pessoal se você gostou da postagem me mande um email para sugestão ou perguntas fmbacelar@gmail.com

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α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
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√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ

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