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16 janeiro 2014


Cálculo Numérico

O cálculo numérico compreende:
  •  A análise dos processos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações aritméticas;
  •  O desenvolvimento de uma seqüência de operações aritméticas que levem às respostas numéricas desejadas (Desenvolvimento de algoritmos);
  • O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em escrever o método numérico como um programa de computador

Representação numérica
Motivação:
Exemplo 1:
Calcular a área de uma circunferência de raio 100 metros.
a) 31140 m²
b) 31416m²
c) 31415,92654 m²

No caso do Exemplo 1 foram admitidos três valores diferentes para o número π :
a) π =3,14
b) π =3,1416
c) π =3,141592654

Dependência da aproximação escolhida para π . Aumentando-se o número de dígitos
aumentamos a precisão. Nunca conseguiremos um valor exato.

No caso do Exemplo 2 as diferenças podem ter ocorrido em função da base utilizada, da forma como os números são armazenados, ou em virtude dos erros cometidos nas operações aritméticas.

Espera-se, com isso, obter respostas confiáveis para problemas matemáticos. No entanto, não é raro acontecer que os resultados obtidos estejam distantes do que se esperaria obter.

O conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto ,discreto, ou seja não é possível representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo [a,b]. A representação de um número depende da BASE escolhida e do número máximo de dígitos usados na sua representação.

Qual a base utilizada no nosso dia-a-dia?

Base decimal (Utiliza-se os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9).

Existem outras bases: 8 (base octal), 12, 60, porém, a base utilizada pela maioria dos computadores é a base binária, onde se utiliza os algarismos 0 e 1.

Os computadores recebem a informação numérica na base decimal, fazem a conversão para sua base (a base binária) e fazem nova conversão para exibir os resultados na base decimal para o usuário.

Exemplos:
$(100110)_2 = (38)_{10}$
$(11001)_2 = (25)_{10}$


Representação de um número inteiro

Em princípio, representação de um número inteiro no computador não apresenta qualquer dificuldade. Qualquer computador trabalha internamente com uma base fixa β , onde β é um inteiro ≥ 2 ; e é escolhido como uma potência de 2.

Assim dado um número inteiro x ≠ 0 , ele possui uma única representação,

$x= ±(d_nd_{n-1}...d_2 d_1 d_0)=± (d_nβ^n d_{n-1} β^{n-1}+...+ d_1 β^1 d_0 β^0)$

onde $d_i$ é um dígito da base em questão, no caso de uma base binária $d_n=1$  e $d_{n-1},...,d_0$
são iguais a 1 ou 0 que são os dígitos da base binária.

Exemplos:
a) Como seria a representação do número 1100 numa base β = 2

$(1100)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0$

Portanto $(1100)_2 = (1100)_2$.

b) Como seria a representação do número 1997 em uma base β = 10 ?

$1997 = 1×10^3 + 9×10^2 + 9×10^1 + 7 ×10^0$

Logo, $1997 = (1997)_{10}$ .

Representação de um número real

Se o número real x tem parte inteira $x_i$ , sua parte fracionária $x_f = x - x_i$ pode ser escrita
como uma soma de frações binárias:

$x_f= ±(b_nb_{n-1}...b_2 b_1 b_0)=± (b_1β^{-1}b_2b_{-{2}}+...+ d_{n-1}β^{-{n-1}}+ d_nβ^n)$

Assim o número real será representado juntando as partes inteiras e fracionárias, ou seja,

$x=±(a_1a_{n-1}...a_2a_1a_0,b_mb_{m-1}...b_2b_1b_0$

onde, x possui n+1 algarismos na parte inteira e m+1 algarismos na parte fracionária.

Exemplo:

a) Como seria a representação do número 39,28 em uma base decimal?

$(1100)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0$


$(39,28)_{10}=(3×10^1+9×10^0)+(2×10^{-{1}}+8×10^{-{2}})$

$(39,28)_{10}=(39,28)_{10}$

b) Como seria a representação do número  $(14,375) = (?)_2$ em uma base binária?

$(14,375)_{10} = (1110,011)_2$

Precisamos saber fazer a conversão de bases que é o tópico seguinte.

Conversão entre as bases

Conforme dito anteriormente, a maioria dos computadores trabalha na base β , onde β é um inteiro ≥ 2 ; normalmente escolhido como uma potência de 2.

Binária para Decimal

Exemplos:

a) $(1101) =1× 2^3 +1× 2^2 + 0× 2^1 +1× 2^0 = 8 + 4 + 0 +1 = (13)_{10}$
b)$(11001) = 1× 2^4 +1× 2^3 + 0× 2~0 + 0× 2^1 +1× 2^0 = 16 + 8 + 0 + 0 +1 = (25)_{10}$

Decimal para Binária

Na conversão de um número escrito em base decimal para uma base binária são utilizados: o método das divisões sucessivas para a parte inteira e o método das multiplicações sucessivas para conversão da parte fracionária do número em questão.

- Método das divisões sucessivas (parte inteira do número)
a) Divide-se o número (inteiro) por 2;
b) Divide-se por 2, o quociente da divisão anterior;
c) Repete-se o processo até o último quociente ser igual a 1.

O número binário é então formado pela concatenação do último quociente com os restos das divisões, lidos em sentido inverso.

- Método das multiplicações sucessivas (parte fracionária do número)
a) Multiplica-se o número (fracionário) por 2;
b) Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base binária e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2;
c) O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual a zero 

Exemplos:

a) $(13)_{10} = (?)_2$

$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}}\begin{array}{|c|c|}
\hline & Quociente&Resto \\\hline
\frac{13}{2}&6&\color{red}{1} \\\hline
\frac{6}{2}&3&\color{red}{0} \\\hline
\frac{3}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{1} \\\hline
\end{array}$

logo o resultado :
$(13)_{10} = (1101)_2$


$\boxed{(25)_{10} = (?)_2}$

$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}}\begin{array}{|c|c|}
\hline & Quociente&Resto \\\hline
\frac{25}{2}&12&\color{red}{1} \\\hline
\frac{12}{2}&6&\color{red}{0} \\\hline
\frac{6}{2}&3&\color{red}{0} \\\hline
\frac{3}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{1} \\\hline
\end{array}$

b) O resultado é :
$\boxed{(25)_{10} = (11001)_2}$
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Olá Pessoal pessoal se você gostou da postagem me mande um email para sugestão ou perguntas fmbacelar@gmail.com

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½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
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