O
assunto divisibilidade no Conjunto dos Inteiros (ℤ) é
extremamente importante para resolução de problemas de Olimpíadas de Matemática
(Teoria dos Números).
Quando
falamos em “divisibilidade e resto”, pensamos logo que esse assunto é trivial,
pois já foi visto na 5ª série. Mas não é bem assim, na realidade, esse tópico
merece uma atenção mais profunda.
Divisibilidade
Definição
Sejam a e b dois inteiros, com a$\neq$0, diz-se que a divide b, se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a . q. Neste caso diz-se também que a é divisor de b e que b é múltiplo de a.
Indicaremos por a | b o fato de a dividir b; e se a não dividir b, escrevemos a$\bcancel{ |}$b.
Vejamos alguns exemplos:
Indicaremos por a | b o fato de a dividir b; e se a não dividir b, escrevemos a$\bcancel{ |}$b.
Vejamos alguns exemplos:
1.
4
ê12,
pois 12 = 4 . 3
2.
–
5 ê30, pois 30 = - 5 . (- 6)
3.
7
ê
-21, pois – 21 = 7 . ( - 3)
4.
3$\bcancel{ |}$11, pois não existe q inteiro tal que 10 = 3 .
q
Para
a relação x êy nos inteiros valem as seguintes
propriedades:
P1 : a
êa, ∀ a ∈ Z*,
pois a = 1 . a (propriedade reflexiva)
P2 : se a êb e b êa ⇒|a|=|b|. (propriedade
anti–simétrica)
De fato, por hipótese, b = a.$q_1$ e a = b.$q_2$. Daí, b = b.($q_2.q_1$). Se b = 0, como a=b.$q_2$, então a=0, e se b ≠ 0, então $q_2.q_1$=1 e portanto $|q_1|=|q_2|$=1. Logo |a|=|b| também nesse caso.
P3 : se a êb e b êc
Þ a çc (propriedade transitiva)
Demonstração:
Por
hipótese, b = a.q1 e c = b.q2 . Daí, c = a.($q_2.q_1$) e portanto a
çc.
P4 : se
a çb e c¹0, então a.c êb.c .
Demonstração:
De
fato, por hipótese b = aq e agora multiplique ambos os membros por c, vem:
b.c
= (a.c).q. Portanto, a.c êb.c.
Obs.: a recíproca da propriedade 4 também é
verdadeira, ou seja, se a.c êb.c Þ a êb. (Tente provar !)
P5 : se
a çb e
a çc, então a ê( b ± c).
Demonstração:
Pela
hipótese, b = a$q_1$ e c = a$q_2$. Daí
subtraindo ou somando uma equação de outra, vem:
(b ± c) = a ( $q_1$±$q_2$). Portanto, a
ê(b ±c).
Critérios de
Divisibilidade
Um inteiro qualquer diferente de zero, é divisível por:
·
2, se for par. Ex: 2.004;
·
3, se a soma dos seus algarismos
for um numeral divisível por 3. Ex: 123;
·
4, se o numeral formado
pelos dois algarismos da direita for um divisível por 4. Ex:
7.008;
·
5, se terminar em 0 ou 5. Ex: 19.875;
·
6, se for divisível
simultaneamente por 2 e 3. Ex: 1.056;
·
7, retira-se o último
algarismo da direita, em seguida subtrai-se do número que restou o dobro do
algarismo retirado. Essa diferença tem que ser divisível por 7. Ex: 343;
Obs.: Não sendo notável a diferença, pode-se seguir
várias vezes o mesmo processo.
·
8, se o numeral formado
pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Ex: 123.016;
·
9, se a soma dos algarismos
desse número for divisível por 9. Ex:
9.234;
·
10, se terminar em 0. Ex: 1.230;
·
11, se a soma dos algarismos
de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par for um número divisível
por 11. Ex: 72.897;
·
12, se for divisível
simultaneamente por 3 e 4. Ex: 11.580;
·
13, retira-se o último
algarismo da direita, em seguida adiciona-se ao número que restou o quádruplo
do algarismo retirado. Essa soma tem que ser divisível por 13. Ex: 11.661;
Obs.: Não sendo notável a soma, pode-se seguir
várias vezes o mesmo processo.
·
14, se for divisível
simultaneamente por 2 e 7. Ex: 3.612;
·
15, se for divisível
simultaneamente por 3 e 5. Ex: 13.455;
·
21, se for divisível
simultaneamente por 3 e 7. Ex: 16.548;
·
22, se ao mesmo tempo for
divisível por 2 e 11. Ex: 19.536;
·
25, quando terminar 00, 25,
50 ou 75. Ex: 121.345.725.
ALGORITMO
DA DIVISãO
Teorema
Se a e b são dois número inteiros, com b > 0, então existem e são únicos os inteiros q
e r que satisfazem as condições:
$\boxed{a = b.q + r\,\, e\,\, 0 ≤ r < b}$
Os elementos a, b, q e r são chamados, respectivamente, dividendo,
divisor, quociente e resto da divisão de a por b.
Exemplo 1: Numa divisão o divisor é
4, ache os possíveis restos.
Solução: Como o divisor é 4,
então 0 ≤ resto < 4. Daí, os
possíveis restos são {0,1,2,3}.
Exemplo 2: Achar os números que, na
divisão por 7, dão quociente igual ao resto.
Solução: Seja N um dos números
procurados. Pelo algoritmo da divisão temos N = 7.q + r, com 0 ≤ r < 7.
Fazendo r = q, temos N = 8.q , com 0 ≤ q < 7 e portanto os números são: 0,
8, 16, 24, 32, 40 e 48.
Restos das divisões
Na aplicação
do caráter de divisibilidade, o resto da divisão de um número qualquer por
outro, cujo caráter de divisibilidade conhecemos, será o mesmo resto encontrado
na aplicação do caráter pelo divisor considerado.
Exemplo:
Qual o resto da divisão de 1938 por 11?
Solução:
Soma dos
algarismos de ordem ímpar = 9 + 8 = 17
Soma dos
algarismos de ordem par = 1 + 3 = 4
17 – 4 = 13 e 13 dividido por 11 deixa resto 2.
Teoria dos restos
Proposição 1. O resto da divisão de uma soma por um número é o mesmo que o da
divisão da soma dos restos das parcelas por esse mesmo número.
Exemplo:
Qual o resto da divisão da soma 18 + 27 + 14 por 4?
Solução:
Soma dos
restos das parcelas: 2 + 3 + 2 = 7 e 7 deixa resto 3 na divisão por 4.
Portanto, o resto da soma de 18 + 27 + 14 por 4 será 3.
Proposição 2. O resto da divisão de um produto por um número é o mesmo que o da
divisão do produto dos restos dos fatores por esse número.
Exemplo:
Qual o resto da divisão do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9?
Solução:
Produto dos
restos dos fatores: 1 x 4 x 6 = 24 e 24 deixa resto 6 na divisão por 9. Logo, o
resto do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9 será 6.
1- O pai de Carolina mediu o comprimento da mesa da sala com sua mão e contou 8 palmos. Ela também mediu a mesa do mesmo modo e contou 11 palmos. Qual é o tamanho do palmo de Carolina, se o palmo de seu pai mede 22 centímetros?
A) 12 cm
B) 13 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 19 cm
A) 12 cm
B) 13 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 19 cm
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α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ