Just another free Blogger theme

Tecnologia do Blogger.

Feed

Enter your email address:

Delivered by FeedBurner


Videos

Loading...

Seguidores

Blog Archive

Postagens populares

11 janeiro 2014


Introdução

O assunto divisibilidade no Conjunto dos Inteiros () é extremamente importante para resolução de problemas de Olimpíadas de Matemática (Teoria dos Números).
Quando falamos em “divisibilidade e resto”, pensamos logo que esse assunto é trivial, pois já foi visto na 5ª série. Mas não é bem assim, na realidade, esse tópico merece uma atenção mais profunda.

 Divisibilidade

Definição

Sejam a e b dois inteiros, com a$\neq$0, diz-se que a divide b, se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a . q. Neste caso diz-se também que a é divisor de b e que b é múltiplo de a.

Indicaremos por a | b o fato de a dividir b; e se a não dividir b, escrevemos a$\bcancel{ |}$b.

Vejamos alguns exemplos:
1.    4 ê12, pois 12 = 4 . 3
2.    – 5 ê30, pois 30 = - 5 . (- 6)
3.    7 ê -21, pois – 21 = 7 . ( - 3)
4.    3$\bcancel{ |}$11, pois não existe q inteiro tal que 10 = 3 . q

Para a relação x êy nos inteiros valem as seguintes propriedades:

P1 :êa, ∀ ∈ Z*, pois a = 1 . a (propriedade reflexiva)
P2 : se a êb e b ê⇒|a|=|b|. (propriedade anti–simétrica)

Demonstração:

De fato, por hipótese, b = a.$q_1$ e a = b.$q_2$. Daí, b = b.($q_2.q_1$). Se b = 0, como a=b.$q_2$, então a=0, e se b ≠ 0, então $q_2.q_1$=1 e portanto $|q_1|=|q_2|$=1. Logo |a|=|b| também nesse caso.

P3  :  se a êb e b êc Þ  a çc (propriedade transitiva)

Demonstração:

Por hipótese, b = a.q1 e c = b.q2 . Daí, c = a.($q_2.q_1$) e portanto a çc.



P4se a çb e c¹0, então a.c êb.c .

Demonstração:
De fato, por hipótese b = aq e agora multiplique ambos os membros por c, vem:

b.c = (a.c).q. Portanto, a.c êb.c.


Obs.: a recíproca da propriedade 4 também é verdadeira, ou seja, se a.c êb.c Þ  a êb. (Tente provar !)


P5se a çb e  a çc, então a ê( b ± c).

Demonstração:
Pela hipótese, b = a$q_1$ e c = a$q_2$. Daí subtraindo ou somando uma equação de outra, vem:
(b  ± c) = a ( $q_1$±$q_2$). Portanto, a ê(b  ±c).

Critérios de Divisibilidade

Um inteiro qualquer diferente de zero, é divisível por:

·         2, se for par. Ex: 2.004;
·         3, se a soma dos seus algarismos for um numeral divisível por 3.  Ex: 123;
·         4, se o numeral formado pelos dois algarismos da direita for um divisível por 4. Ex:
7.008;
·         5, se terminar em 0 ou 5. Ex: 19.875;
·         6, se for divisível simultaneamente por 2 e 3. Ex: 1.056;
·         7, retira-se o último algarismo da direita, em seguida subtrai-se do número que restou o dobro do algarismo retirado. Essa diferença tem que ser divisível por 7. Ex: 343;
      Obs.: Não sendo notável a diferença, pode-se seguir várias vezes o mesmo processo.
·         8, se o numeral formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Ex: 123.016;
·         9, se a soma dos algarismos desse número for divisível por 9. Ex: 9.234;
·         10, se terminar em 0. Ex: 1.230;
·         11, se a soma dos algarismos de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par for um número divisível por 11. Ex: 72.897;
·         12, se for divisível simultaneamente por 3 e 4. Ex: 11.580;
·         13, retira-se o último algarismo da direita, em seguida adiciona-se ao número que restou o quádruplo do algarismo retirado. Essa soma tem que ser divisível por 13. Ex: 11.661;
      Obs.: Não sendo notável a soma, pode-se seguir várias vezes o mesmo processo.
·         14, se for divisível simultaneamente por 2 e 7. Ex: 3.612;
·         15, se for divisível simultaneamente por 3 e 5. Ex: 13.455;
·         21, se for divisível simultaneamente por 3 e 7. Ex: 16.548;
·         22, se ao mesmo tempo for divisível por 2 e 11. Ex: 19.536;
·         25, quando terminar 00, 25, 50 ou 75. Ex: 121.345.725.

ALGORITMO DA DIVISãO


Teorema

Se a e b são dois número inteiros, com b > 0, então existem e são únicos os inteiros q e r que satisfazem as condições: 

$\boxed{a = b.q + r\,\, e\,\, 0 ≤ r < b}$
Os elementos a, b, q e r são chamados, respectivamente, dividendo, divisor, quociente e resto da divisão de a por b.

Exemplo 1: Numa divisão o divisor é 4, ache os possíveis restos.

Solução: Como o divisor é 4, então  0 ≤ resto < 4. Daí, os possíveis restos são {0,1,2,3}.

Exemplo 2: Achar os números que, na divisão por 7, dão quociente igual ao resto.

Solução: Seja N um dos números procurados. Pelo algoritmo da divisão temos N = 7.q + r, com 0 ≤ r < 7. Fazendo r = q, temos N = 8.q , com 0 ≤ q < 7 e portanto os números são: 0, 8, 16, 24, 32, 40 e 48.

Restos das divisões

Na aplicação do caráter de divisibilidade, o resto da divisão de um número qualquer por outro, cujo caráter de divisibilidade conhecemos, será o mesmo resto encontrado na aplicação do caráter pelo divisor considerado.

Exemplo: Qual o resto da divisão de 1938 por 11?

Solução:
Soma dos algarismos de ordem ímpar = 9 + 8 = 17
Soma dos algarismos de ordem par = 1 + 3 = 4
174 = 13 e 13 dividido por 11 deixa resto 2.

Teoria dos restos

Proposição 1. O resto da divisão de uma soma por um número é o mesmo que o da divisão da soma dos restos das parcelas por esse mesmo número.

Exemplo: Qual o resto da divisão da soma 18 + 27 + 14 por 4?

Solução:
Soma dos restos das parcelas: 2 + 3 + 2 = 7 e 7 deixa resto 3 na divisão por 4. Portanto, o resto da soma de 18 + 27 + 14 por 4 será 3.



Proposição 2. O resto da divisão de um produto por um número é o mesmo que o da divisão do produto dos restos dos fatores por esse número.
Exemplo: Qual o resto da divisão do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9?

Solução:
Produto dos restos dos fatores: 1 x 4 x 6 = 24 e 24 deixa resto 6 na divisão por 9. Logo, o resto do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9 será 6.


1- O pai de Carolina mediu o comprimento da mesa da sala com sua mão e contou 8 palmos. Ela também mediu a mesa do mesmo modo e contou 11 palmos. Qual é o tamanho do palmo de Carolina, se o palmo de seu pai mede 22 centímetros?

A) 12 cm
B) 13 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 19 cm




Reações:


Olá Pessoal pessoal se você gostou da postagem me mande um email para sugestão ou perguntas fmbacelar@gmail.com

0 comentários:

Postar um comentário

Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
____________________________________________


α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ

Postagens Relacionadas