Just another free Blogger theme

Tecnologia do Blogger.

Feed

Enter your email address:

Delivered by FeedBurner


Videos

Loading...

Seguidores

Blog Archive

Postagens populares

10 janeiro 2014




Dados os números complexos an, an-1, ..., a2, a1, e a0, chamamos de polinômio ou função polinomial na variável x a função f: C → C tal que:
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 (n ∈ N)
Em que anxn, an-1xn-1, ..., a2x2, a1x e a0 são termos e an, an-1, ..., a2, a1 e a0 são os coeficientes do polinômio.
Expressões cujos expoentes não sejam números naturais não são polinômios. Por exemplo:
  • x+ x1/2 (1/2 ∉ N)
  • 2x-3 + x (-3 ∉ N e -2 ∉ N)

 

Grau

Grau do polinômio P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + apxp + ... + a2x2 + a1x + a0 é n se, e somente se, an ≠ 0. Indicamos por gr(P) o grau de Px(x).
Exemplo:
  • P(x) = 4x+ 1: gr(P) = 3
  • Q(x) = 7x5 +3x2 - x: gr(Q) = 5

Valor numérico

O valor numérico do polinômio P(x) = axxn + ... + a2x2 + a1x + a0 para x igual a um número qualquer y ∈ C, é P(x) = axyn + ... + a2y2 + a1y + a0. Isto é, para obter P(y), basta substituir x por y em P(x).

  • Quando P(y) = 0, y é raiz de P(y):
P(2) = 22 - 5.2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0
P(3) = 32 - 5.3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0

  • Como 1n = 1, ∀ n ∈ N, P(1) é a soma dos coeficientes de P(x):
P(x) = 5x4 - 3x2 - 4x + 1 ⇒ P(1) = 5.14 + 3.13 - 2.12 - 4.1 + 1 = 3
Portanto, a soma dos coeficiente de P(x) = 3.

  • P(0) é igual ao termo independente de P(x):
a) P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + apxp + ... + a2x2 + a1x + a0
    ⇒ an0n + an-10n-1 + ... + ap0p + ... + a202 + a10 + a0
    ⇒ 0 + 0 + ... + 0 + 0 + 0 + a0 = a0
b) Para determinar o termo independente da expressão (x2 - x + 1)23, basta fazer:
P(x) = (x- x + 1)23 ⇒ P(0) = (02 - 0 + 1)23 = 123 = 1 (termo independente de P(x))

Polinômio indenticamente nulo

O polinômio em que todos os coeficientes são nulos é o polinômio indenticamente nulo. Por exemplo, P(x) = ax2 + (b-1)x - 2 será indeticamente nulo se todos os coeficientes forem iguais a 0. Assim:
  • a = 0
  • b - 1 = 0 ⇒ b = 1
  • c - 2 = 0 ⇒ c = 2

Polinômios idênticos

Dados os polinômios P1(x) =  anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 e P2(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0, dizemos que P1(x) é idêntico a P2(x) se, e somente se, todos os coeficientes de P1(x) forem ordenadamente iguais aos de P2(x):
P1(x) ≡ P2(x) ⇔ a= bn, an-1 = bn-1, ..., a1 = b1 e a= b0

OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

Adição, subtração e multiplicação

Estas operações já foram estudadas no ensino fundamental. Assim, faremos uma revisão com alguns exemplos.
a) Dados P(x) = x3 + 3x2 + 4x - 3 e Q(x) = 2x4 - 2x3 + 3x + 2, temos:
  • P(x) + Q(x) = x3 + 3x2 + 4x - 3 + 2x4 - 2x3 + 3x + 2 = 2x4 - x3 + 3x2 + 7x - 1
  • P(x)  - Q(x) = x3 + 3x2 + 4x - 3 - (2x4 - 2x3 + 3x + 2) = x3 + 3x2 + 4x - 3 - 2x4 + 2x3 - 3x - 2 = -2x4 + 3x3 + 3x+ x - 5
  • 2P(x) + 3Q(x) = 2(x3 + 3x2 + 4x - 3) + 3(2x4 - 2x3 + 3x + 2) = 2x3 + 6x2 + 8x - 6 + 6x4 + 6x3 + 9x + 6 = 6x4- 4x3 + 6x2 + 17x

b) Sendo R(x) = 3x3 + 2x e S(x) = 4x - 3, temos:
R(x) . S(x) = (3x3 + 2x)(4x - 3) = 12x3 + 8x2 - 9x2 - 6x = 12x3 - x2 - 6x

Divisão

Dados os polinômios A(x) e B(x) não identicamente nulos, dividir A(x) por B(x) é obter os polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto), tais que:
A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x) e R(x) ≡ 0 ou gr(R) < gr(B)
Esquematicamente, temos:
A(x) / B(x) = Q(x) + R(x) 
A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x)
Observação: Temos sempre gr(Q) = gr(A) - gr(B)
Como exemplo, vamos dividir A(x) = x+ 3x2 + 4 por B(x) = x2 + 1. Acompanhe os passos a seguir.
  • Dividimos o termo de maior grau de A(x) pelo termo de maior grau de B(x):
x3 / x2 = x
→ (x3 + 3x2 + 0x + 4) / (x2 + 1) = x
  • Multiplicamos o quociente x por B(x) e subtraímos o produto de A(x):
x(x2 + 1) = x3 + x
⇒ (x3 + 3x2 + 0x + 4)/(x2 + 1)
x3 + 3x2 + 0x + 4 |_x2 + 1___
-x3             -x         x               
  • Somamos os termos semelhantes, obtendo o primeiro resto parcial:
x3 + 3x2 + 0x + 4 |_x2 + 1___
-x3             -x         x              
3x2 - x + 4                     
  • Repetimos esses três passos para o termo de maior grau do resto parcial (3x2):
x3 + 3x2 + 0x + 4 |_x2 + 1___
     -x3         -x                x + 3            
3x2 - x + 4                               
-3x2         - 3                                
-x + 1                        
Como o grau do resto (-x + 1) é menor que o grau do divisor (x2 + 1), a divisão está encerrada, e Q(x) = x + 3 e R(x) = -x + 1.
Verificamos, então, que:
x3 + 3x2 + 0x + 4 ≡ (x2 + 1)(x + 3) + (-x + 1)
A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x)

Vamos agora determinar o quociente e o resto da divisão de A(x) = x4 - 3x3 + x2 - 4x + 3 por B(x) = x2 + x + 1 e verificar que gr(Q) = gr(A) - gr(B) e A(x) = B(x) . Q(x) + R(x):
Dividindo:
x4 - 3x3 + x2 - 4x + 3 |_x2 + x + 1__ → divisor: B(x)
  -x4 - x3 - x2                 x2 - 4x + 4    → quociente: Q(x)
 -4x3 + 0x2 -4x + 3                                                   
_4x3 + 4x2 + 4x                                                      
4x2 + 0x + 3                                         
 -4x2 - 4x - 4                                            
-4x - 1 → resto: R(x)             
                                
Como gr(R) = 1 e gr(B) = 2, a divisão está terminada.
Verificamos, então, que:
grau do quociente = grau do dividendo - grau do divisor
gr(Q) = gr(A) - gr(B)
2 = 4 - 2
Verificamos, também, que:
(x4 - 3x3 + x2 - 4x + 3) ≡  (x2 + x + 1)(x2 - 4x + 4) + (-4x - 1)
A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x)

Método dos coeficientes a determinar

Acabamos de ver que:
A(x) |_B(x)__
R(x)    Q(x)   
A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x)
gr(Q) = gr(A) - gr(B)
gr(R) < gr(B)
Essas relações podem ser usadas como recursos para determinar os coeficientes de um polinômio em uma divisão.
Vamos determinar o quociente e o resto da divisão de A(x) = x3 + 2x2 - 3x + 2 por B(x) = x2 + x + 1:
x3 + 2x2 - 3x + 2 |__x2 + x + 1__
R(x)                Q(x)
O quociente é um polinômio do primeiro grau, pois:
gr(Q) = gr(A) - gr(B) = 3 - 2 = 1
Logo, Q(x) = ax + b.
Como gr(R) < gr(B) e gr(B) = 2, então gr(R) < 2, ou seja, o resto tem, no máximo, grau 1: R(x) = cx + d.
Sendo A(x) ≡ B(x) . Q(x) + Q(x), podemos escrever:
x3 + 2x2 - 3x + 2 ≡ (x2 + x + 1)(ax + b) + cx + d
⇒ x3 + 2x2 - 3x + 2 ≡ ax3 + ax + bx2 + bx + b + cx + d
⇒ x3 + 2x3 - 3x + 2 ≡ ax3 + (b + a)x+ (b + a + c)x + b + d

Comparando ambos os membros, temos:
x3 = ax3 ⇒ a = 1
2x2 = (b + a)x2 ⇒ b + a = 2 ⇒ b + 1 = 2 ⇒ b = 1
-3x = (b + a + c)x ⇒ b + a + c = -3 ⇒ 1 + 1 + c = -3 ⇒ c = -5
b + d = 2 ⇒ 1 + d = 2 ⇒ d = 1

Logo, Q(x) = ax + b = x + 1 e R(x) = cx + d = -5x + 1


Aguardem as próximas postagens



Reações:


Olá Pessoal pessoal se você gostou da postagem me mande um email para sugestão ou perguntas fmbacelar@gmail.com

0 comentários:

Postar um comentário

Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
____________________________________________


α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ

Postagens Relacionadas