Os Números Naturais

Os números naturais formam um conjunto cujos elementos são descritos de modo ordenado como segue:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; : : :

Essa descrição não é completa, pois só explicitamos alguns poucos de seus elementos, guardando o restante na nossa imaginação.

No entanto, todos nós sabemos perfeitamente do que estamos falando.

Tudo começa com o número um, simbolizado por 1, que representa a unidade, e com uma lei, simbolizada pelas flechas, que a cada número, começando pelo 1, fornece o seu sucessor, isto é, o número que lhe segue.

Sabemos também que esta sequência nunca termina; ou seja, os números naturais são em quantidade infinita.

Cada elemento desse conjunto tem de ser obviamente representado por um símbolo distinto. Como fazer isto de modo a poder memorizar todos esses símbolos? A resposta, muito engenhosa, é dada pela adoção de um sistema de numeração, que no nosso caso é o sistema decimal posicional, que será descrito no próximo capítulo.

Assim, por exemplo, sabemos que nesse sistema sucedendo o 10 vem o 11 e sucedendo o 999 vem o 1 000 etc.

Os números naturais permitem contar objetos, inclusive subconjuntos do próprio conjunto dos naturais. Por exemplo, de 1 a n, inclusive, existem exatamente n números naturais.

Ordem

Quando um número a aparece na sequência, acima mencionada, antes do número b, ou seja, à esquerda de b, escrevemos a < b e dizemos que a é menor do que b, ou ainda, escrevemos b > a e dizemos que b é maior do que a.

...→a→...→b →...

Por exemplo, 1 < 2, 5 < 7, 9 > 6 etc.

Essa relação que ordena os números naturais tem claramente a seguinte propriedade transitiva:

Se a aparece antes de b e b aparece antes de c, então a aparece antes de c.

...→a→...→b →...c→...

Em símbolos:

$\boxed{Se\,\,a<b\,e\,b<c,\,então\,a<c.}$

estamos construindo