Resolução dos Exercícios de ÁLGEBRA I

1. Sejam $A=\begin{pmatrix}1&3\\2&-3\end{pmatrix}$ e
$A=\begin{pmatrix}2&0&-4\\3&-2&6\end{pmatrix}$
       Encontre AB e BA, se possível.
Resposta:
$AB=\begin{pmatrix}11&-6&14\\1&2&-14\end{pmatrix}$ e BA não é definido.

2. Se A é uma matriz simétrica, calcule $A – A^T$.

Supondo A uma matriz simétrica, $A = A^T$. Então, $A – A^T$ é uma matriz nula.

3. Se A é uma matriz diagonal, calcule $A^T$.

Se A é uma matriz diagonal ela é simétrica. Logo, pelo exercício anterior  $A^T$ = A.

4. Determine a e b para que a matriz
$A=\begin{pmatrix}2&4&{2a-b}\\{a+b}&3&0\\-1&0&5\end{pmatrix}$ seja simétrica.

$A^T=\begin{pmatrix}2&{a+b}&-1\\4&3&0\\{2a-b}&0&5\end{pmatrix}$

Para que A seja simétrica,
 $A^T$ = A

$\begin{pmatrix}2&4&{2a-b}\\{a+b}&3&0\\-1&0&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&{a+b}&-1\\4&3&0\\{2a-b}&0&5\end{pmatrix}$
Daí,
$\text{S}:\begin{cases}a+b=4\,\\2a-b=-1\,\end{cases}$
$\text{ou}:\begin{cases}a=1\,\\b=-3\,\end{cases}$

5. Encontre todas as matrizes 2 x 2 tal que $X^2 = I$, em que I é a matriz identidade de ordem 2.

Seja $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

$A^2 = AA =\begin{pmatrix}{a^2+bc}&{ab+bd}\\{ac+cd}&{cd+d^2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix}$

Assim, temos que resolver o sistema de equações:
$\text{S}:\begin{cases} {a^2+bc}=1\,\\{ab+bd}=0\\{ac+cd}=0\,\\cd+d^2=1\end{cases}$

vamos, então, considerar três casos:
1º caso: b=c=0. Substituindo no sistema anterior, teremos a = ±1 e d= ±1.
2º caso: d = -ª Isso nos leva a:

$bc =1 – a^2$; para $b\neq$0 teremos $c=\frac{1-a^2}{b}$
3º caso: c = 0. Desse modo, teremos:
$a^2 = 1$ e $d^2 = 1$, o que nos dará a = ±1 e d= ±1.

As soluções serão as matrizes ± I e as matrizes da forma
 $\begin{pmatrix}a&b\\\frac{1-a^2}{b}&{-a}\end{pmatrix}$
e ± $\begin{pmatrix}{1}&{b}\\{0}&{-1}\end{pmatrix}$

6. Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz
$\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix}$, mostre que AB = BA.
Resolução:
Sejam $A=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}{e}&{f}\\{g}&{h}\end{pmatrix}$, matrizes que comutam com a matriz dada anteriormente, podemos escrever:
 $\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix}{e}&{f}\\{g}&{h}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{e}&{f}\\{g}&{f}\end{pmatrix}$ ou, fazendo as multiplicações em cada membro da igualdade:

 $A=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{-b}&{a}\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}{e}&{f}\\{-f}&{e}\end{pmatrix}$
Desse modo:


$AB=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{-b}&{a}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{e}&{f}\\{-f}&{e}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{ae-bf}&{af+be}\\{-be-af}&{-bf+ae}\end{pmatrix}=BA$.