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12 fevereiro 2014







$e^x=f(0)+f'(0)x+f''(0)\frac{x^2}{2!}+f'''(0)\frac{x^3}{3!}+...+\frac{f^{n+1}(ε).x^{n+1}}{(n+1)!}$

$0< ε <x$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{f^{n+1}(ε).x^{n+1}}{(n+1)!}$

$e^0<\frac{f^{n+1}(ε).x^{n+1}}{(n+1)!}<e^c$

$\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}<\frac{f^{n+1}(ε).x^{n+1}}{(n+1)!}<e^c\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$

c=1

x=1

(I)
$\frac{1}{(n+1)!}<\frac{f^{n+1}(ε)}{(n+1)!}<e\frac{1}{(n+1)!}$


$e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+E(1)$

escrevendo de outra maneira


$e=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+E(1)$
é o mesmo que; $E(1)=e-\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$


vamos pegar a (I)

$\frac{1}{(n+1)!}<e -\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}<e^c\frac{1}{(n+1)!}$

multiplicando por n!

$\frac{n!}{(n+1)!}<n!e -\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}<e^c\frac{n!}{(n+1)!}$

Pense que a fração


$\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{\cancel{n!}}{(n+1)\cancel{n!}}$e portanto teríamos uma outra forma mais simplificada

$\frac{1}{(n+1)!}<n!e -\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}<\frac{e^c}{n+1}$

Agora tomamos o c=1

2<e<3

Podemos dizer


$\frac{1}{(n+1)!}<n!e -\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}<\frac{e^c}{n+1}<\frac{3}{n+1}$

Então o n+1$\le$ 4,  para n=3

$\frac{1}{n+1}\ge 4$


$\frac{1}{(n+1)!}<n!e -\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!}<\frac{e^c}{n+1}<\frac{3}{4}$

Conluímos que 
$\boxed{\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}}$ 
sempre será um número inteiro
 e se 
"e" (neperiano) for um número racional 
e o "n" pode ser tão grande de tal maneira que torna n!e
e ainda suprimir numa forma racional $\frac{p}{q}$ e eu posso 
tomar o n! tão grande de tal maneira que 
essa diferença seja um número inteiro positivo
$n!e -\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}$ 

logo concluímos que "e" não pode ser Racional





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Olá Pessoal pessoal se você gostou da postagem me mande um email para sugestão ou perguntas fmbacelar@gmail.com

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Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
____________________________________________


α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ

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