Neperiano "e" Não pode ser um número Racional - Prova

$e^x=f(0)+f'(0)x+f''(0)\frac{x^2}{2!}+f'''(0)\frac{x^3}{3!}+...+\frac{f^{n+1}(ε).x^{n+1}}{(n+1)!}$

$0< ε <x$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{f^{n+1}(ε).x^{n+1}}{(n+1)!}$

$e^0<\frac{f^{n+1}(ε).x^{n+1}}{(n+1)!}<e^c$

$\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}<\frac{f^{n+1}(ε).x^{n+1}}{(n+1)!}<e^c\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$

c=1
x=1

(I)
$\frac{1}{(n+1)!}<\frac{f^{n+1}(ε)}{(n+1)!}<e\frac{1}{(n+1)!}$

$e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+E(1)$

escrevendo de outra maneira

$e=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+E(1)$
é o mesmo que; $E(1)=e-\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$


vamos pegar a (I)

$\frac{1}{(n+1)!}<e -\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}<e^c\frac{1}{(n+1)!}$

multiplicando por n!

$\frac{n!}{(n+1)!}<n!e -\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}<e^c\frac{n!}{(n+1)!}$

Pense que a fração

$\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{\cancel{n!}}{(n+1)\cancel{n!}}$e portanto teríamos uma outra forma mais simplificada

$\frac{1}{(n+1)!}<n!e -\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}<\frac{e^c}{n+1}$

Agora tomamos o c=1

2<e<3

Podemos dizer

$\frac{1}{(n+1)!}<n!e -\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}<\frac{e^c}{n+1}<\frac{3}{n+1}$

Então o n+1$\le$ 4,  para n=3

$\frac{1}{n+1}\ge 4$


$\frac{1}{(n+1)!}<n!e -\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!}<\frac{e^c}{n+1}<\frac{3}{4}$

Conluímos que 

$\boxed{\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}}$ 

sempre será um número inteiro

 e se 

"e" (neperiano) for um número racional 

e o "n" pode ser tão grande de tal maneira que torna n!e

e ainda suprimir numa forma racional $\frac{p}{q}$ e eu posso 

tomar o n! tão grande de tal maneira que 

essa diferença seja um número inteiro positivo

$n!e -\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}$ 

logo concluímos que "e" não pode ser Racional