Teoria Geral das Funções - ENEM MED

Introdução: Noção intuitiva de função

A ideia de função aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem variar seu valor.
Por exemplo:
Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um quadrado com a sua área:

---------------------------
|Lado| 1 |2. |3..| 4 |..L..|
|~~~~~~~~~~~~~~~~|
|Área| 1.| 4 |.9..|16|.L² |
--------------------------

Sabemos que, nesse caso: Área = (lado) ²
Temos então que a área de um quadrado depende do seu lado, ou seja, a área de um quadrado é calculada EM FUNÇÃO do seu lado.

Exercícios
1. A tabela abaixo mostra o preço que uma certa companhia telefônica cobra pelo tempo que seus clientes utilizam o celular em ligações locais:

Tempo (minutos) Preço (reais)
1.................................0,95
2.................................1,90
3.................................2,85
4.................................3,80
5.................................4,75


Responda:
O que é dado em função de que?


R: P(t)=> o Preço é dado em função do tempos gasto pelo cliente


Escreva a fórmula que relaciona o tempo do telefonema e o preço;


R: P(t)=0,95t


Quanto custa uma ligação de 35 minutos? E de 45 minutos? 

P(t)=0,95t
t=35
P(35)=0,95*35
P(35)=33,25
------------
P(t)=0,95t
t=45min
P(45)=0,95*45
P(45)=42,75


Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 123,50, por quanto tempo ele utilizou o celular em horas?

P(t)=123,50
P(t)=0,95t
123,50=0,95t
$t=\frac{123,50}{0,95}$
$t=\frac{12350}{95}$ simplificando por 5
$t=\frac{2470}{19}$ simplificando por 19
$\boxed{t=130minutos}$


como ele quer a resposta em horas
sabemos que
1h =60min
2h=120min


com excede 10minutos


10 é 1/6h


130minutos= (2+$\frac{1}{6}$=$\frac{13}{6h}$

Definindo o conceito de função através dos conjuntos

Definição de função: Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento de A com um elemento de B.


Vamos considerar novamente a tabela que relaciona a área de um quadrado com o seu lado.

Seja então A um conjunto que contém os valores do lado do quadrado e B o conjunto que contém os valores da área do quadrado.

Teremos que:

O diagrama de flechas representa uma função que leva os elementos de A ao seu quadrado em B.
É importante observar que todos os elementos de A têm correspondente em B e que, só sai uma flecha de cada elemento de A.


Sendo assim, nesse nosso caso, temos uma função de A em B (Notação: f: A→ B) que pode ser escrita pela expressão y = x² ou f(x) = x² .


Como reconhecer uma função pelo diagrama de flechas


Uma relação f de A em B é uma função se, e somente se, de cada elemento de A partir uma única flecha.
Observe:


Temos que:
Nos casos 1 e 2: O diagrama de flechas representa uma função;
Nos casos 3 e 4: O diagrama de flechas não representa uma função.

Exercícios

1. Considerando os conjuntos de cada item e a correspondência que os relaciona, desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondência f é uma função de A em B.
a) A={1,2,3,4}; B={1,4,9,16}; y = x²
b) A={1,2,3,4}; B={1,2,5,10,17}; y = x²+1
c) A={-1,1,0,5}; B={1,1,0,15,25,}; y = x²
d) A={0,1,2}; B={0,2,4}; y = 2x
e) A={0,1,2,3,4}; B={-2,-1,0,1,2}; y = x-2
f) A={0,1,2}; B={-2,-1,0,1,2}; y = x²-2x+1


Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem de uma função


Vamos considerar uma função f de A em B.
Temos que:


A é o domínio da função f (Notação: D(f))


B é o contradomínio da função f (Notação: CD(f))


Para cada x є A, o elemento y є B chama-se imagem de x pela função f e o representamos por f(x) (lê-se f de x). O conjunto de todos os y obtidos por f é chamado de conjunto imagem de f (Notação: Im(f)).


Observe:


Seja A={0,1,2,3} e B={0,1,2,3,4,6,7,9}, vamos considerar a função f: A→B que transforma x є A em 3x є B.


Temos que:
f:A B é definida por f(x)=3x ou y=3x;
D(f)=A ou D(f)={0,1,2,3};
CD(f)=B ou CD(f)={0,1,2,3,4,6,7,9};
Im(f)={0,3,6,9};
f(0)=0, f(1)=3, f(2)=6, f(3)=9.





2 . Considere a função f dada pelo diagrama e determine:


D(f)


CD(f)


Im(f)


f(3)


f(4)


x quando y=8
y quando x=3
f(x) quando x=4


3 . Seja a função f: A -> B onde f(x) = 4x+2 e o domínio A={-2,-1,0,1,2,3}. Determine a imagem de f.
5. Seja a função f: lR -> lR dada por f(x) = x²+x. Determine a imagem do número 5.
6. Dada a função f(x) = x²+4. Determine f(2) e f(3).
7. Se f(x) = 3x+2m e g(x) = -2x+1, calcule m sabendo que f(0)-g(1)=3
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Explicação: