Artigo Matemática Básica

Artigo Matemática Básica

Neste artigo quero falar um pouco sobre as propriedades da Matemática relevante para que o estudante entenda a manipulação da matemática básica.

Potenciação
O que é preciso saber (passo a passo)

Seja:

$$\Large\,a_{(base)}^{n{(expoente)}}$$

Ex 1 ) 2³ = 2 . 2 . 2 = 8$$

Traduzindo: base 2 elevado ao expoente 3 obtemos a potência 8.

Ex 2 ) (-2)³= (-2) . (-2) . (-2) = -8

Traduzindo: base (-2) elevado ao expoente 3 obtemos a potência –8

Veja:

-2³, é o mesmo que -1 . 2³= -1 . 8 = -8

-2², é o mesmo que(-1 . 2)²=[-1². 2² ] = 1 . 4 = 4


Então fica fácil explicar porque:

$-2^2\neq\,(-2)^2$
 
Exercício:
Será que a afirmação (-2)ⁿ=-2ⁿ é verdadeira para todo “n” natural?
É óbvio que o sinal da potência vai depender da análise, ou seja, se “n”é par ou ímpar.

1º Caso: Se “n” é par temos:

$$(-2)^n=-2^n$$
$$[(-1).2]^2=-1^2$$
$$(-1)^n\,.2^n=-1^2$$
$$+2^n =-2^n$$ isso é um absurdo!!!
$$+2^n\neq\,-2^n$$ se "n" for par!

1º Caso: Se “n” é par temos:

$$(-2)^n=-2^n$$
$$[(-1).2]^2=-1^2$$
$$(-1)^n\,.2^n=-1^2$$
$$-2^n =-2^n$$ isso é válido!!!
$$-2^n=\,-2^n$$ se "n" for ímpar!

Propriedades da potenciação

Propriedade: em produtos de mesma base , conserva-se a base e somam-se os expoentes:

$$a^m . a^p = a^{m+p}$$

Veja:

$$a^{m+p} = a^m . a^p$$
$$2^{n+3} = 2^n . 2^3 = 2^n . 8$$
$$2^{n+p+q} = 2^n . 2^p . 2^q$$

Obs: caso existir uma série de termos, não se esqueça de colocar o termo comum em evidência.

Ex:    $$2^{n+2} + 2^{n+3} + 2^{n+1}$$

$$2^n . 2^2 + 2^n . 2^3 + 2^n . 2^1$$

$$2^n( 2^2 + 2^3 + 2)$$
$$2^n(14)$$


Facilita e muito a análise das propriedades se você escolher números que podem ser representados na mesma base. Na multiplicação, use:

8 . 4
9 . 27
5 . 25

Os quais serão convertidos em:
$$8 . 4 = 2^3 . 2^2 = 25$$
$$9 . 27 = 3^2 . 3^3 = 35$$
$$5 . 25 = 5^1 . 5^2 = 53$$



Propriedade: em divisão de potência de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

$$\frac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$$

Exemplo:

$$\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2}=a^3$$

Interessantíssimo: você sabe o porquê de todo número elevado a zero ser igual a 1?

$$a^0= 1 (a\neq0)$$

Para você provar, basta representar uma fração onde o numerador e o denominador sejam iguais.

EX:
$$\frac{8}{8}=1\,aplicando\,a\,propriedade\,\frac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$$

$$\frac{8^1}{8^1}=a^{1-1}$$
$$8^0=1$$
 
Conclusão: $$a^0 = 1$$ é uma consequência da propriedade


Propriedade: $$(a^m)^p = a^{m.p}$$

O expoente nos diz quantas vezes à base será multiplicada. 

Ex: $(a^3)^2 = a^6$

ou

$$(a^3)^2 = a^3 . a^3 = a^{3+3} = a^6$$  

Ex: $$(a^2)^4 = a^8$$
 
ou

$$(a^2)^4 = a^2 . a^2 . a^2 . a^2 = a^8$$

Propriedade: $$( a^m . b^p )^q = a^{m.q} . b^{p.q}$$

Ex: (2³.5²)⁴=2¹².5⁸

Interessantíssimo: em física e química é comum às operações básicas serem efetuadas através de potência de 10.
Obs1: o coeficiente da potência de 10 sempre deverá ser um número no intervalo de 1 a 9. p . 10ⁿ,
isto é, 1 < p < 9.





Obs2: não confunda com (a^m+ b^p)^q, nesse caso a propriedade acima não é válida, mas é uma caso de potenciação aplicado em bimonio de Newton que veremos mais a frente!!



Exercício

$$I-Simplifique\,a-b\neq\,0$$

$$a-(a^2.b^3)^2.(a^3b^2)^3$$
$$b-\frac{(a^4.b^2)^3}{(a.b^2)^2}$$

$$c-[(a^3.b^2)^2]^3$$

II- Calcule

a- $$3^{-1}$$ b- $$(-2)^{-1}$$ c- $$-3^{-1}$$ d- $$(-3)^{-1}$$

e- $$\left ( \frac{2}{3} \right )^{-1}$$ \\\\\\\\\f- $$\left ( \frac{-3}{2} \right )^{-3}$$
g- $$(0,25)^{-3}$$ \\\h- $$(-0,5)^{-3}$$

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