Transformada de Fourier vol.3. Simetria Circular

Transformada de Fourier vol.3. Simetria Circular

   Um interessante problema envolvendo Transformada de Fourier (FT) consiste na determinação das funções transformadas de objetos com certa simetria. Em postagens anteriores, observamos o comportamento da função transformada $\tilde{f}_{2}(k_x,k_y)$ condizente com um retângulo $LM$. Observamos, em princípio, a manutenção da simetria retangular no espaço recíproco. O desafio desta vez realizar o mesmo procedimento na determinação da FT de um objeto circular. A ideia é que a função transformada mantenha a relação de reciprocidade em relação a dimensão do raio do círculo $a$.

$$f_{3}(\vec{r})=\left\{\begin{matrix} I_{0},\left | \vec{r} \right | \leq a\\ 0,\left | \vec{r} \right | > a \end{matrix}\right.$$

SOLUÇÃO: Novamente, devemos utilizar a versão bidimensional da transformada de Fourier, na qual explicitamos a simetria circular na forma das coordenadas polares $\vec{r}=(r,\theta)$. Abaixo, o par de transformação:

$$\begin{matrix} f(r,\theta) = \frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int \tilde{f}(\vec{k})\exp (-i\vec{k}\cdot \vec{r}) d \vec{k}\\ \tilde{f}(\vec{k}) = \int_{0}^{+\infty} rdr \int_{0}^{2 \pi} d\theta {f}(r,\theta)\exp (i\vec{k}\cdot \vec{r}) \end{matrix}$$

É importa salientar a correta escolha da simetria do sistema de coordenadas no espaço recíproco. No problema anterior, vimos que a simetria retangular é mantida ainda no espaço transformado, embora com o aumento de $L$ ou $M$ obtemos uma definição da superfície $f_{2}(k_x,k_y)$ no espaço $\vec{k}$. No presente metier, devemos esperar uma complementaridade em relação aos ângulos do espaço real e aquele do espaço inverso. Dessa forma, devemos escrever que

$$\vec{k}\cdot \vec{r}=kr \cos (\frac{\pi}{2}-\theta) = kr \sin (\theta) \\ \tilde{f}(\vec{k}) = I_{0} \int_{0}^{a} rdr \int_{0}^{2 \pi} d\theta {f}(r,\theta) \exp [ikr \sin (\theta)]$$

Lembramos que a função de Bessel de 1.ª ordem $J_{n} (\eta)$ na sua representação integral tem a seguinte forma:

$$J_{n} (\eta) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \exp [i(\eta \sin (\theta)-n\theta)] d \theta$$

Para $n=0$, teremos o seguinte:

$$J_{0} (\eta) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \exp [i\eta \sin (\theta)] d \theta$$
Fazendo $\eta = kr \rightarrow$

$$\int_{0}^{2 \pi} \exp [ikr \sin (\theta)] d \theta = 2 \pi J_{0} (kr)$$

Na expressão da Transformada de Fourier, finalmente obtem-se:

$$\tilde{f}(\vec{k}) = 2 \pi I_{0} \int_{0}^{a} rdr J_{0} (kr) \\ r'=kr \rightarrow r=\frac{r'}{k} \therefore \\ \tilde{f}(\vec{k}) = \frac{2 \pi I_{0}}{k^{2}} \int_{0}^{ak} r'dr' J_{0} (r')$$
Um segunda identidade importante das funções de Bessel é expressa abaixo:

$$\int_{0}^{x} r'^{n+1}J_{n}(r')d r' = x^{n+1}J_{n+1}(x) \\ n \rightarrow 0 \therefore \int_{0}^{x} r'J_{0}(r')d r' = xJ_{1}(x)$$
Substituindo $x$ por $ak$, por fim, chegaremos a equivalência:

$$\tilde{f}(\vec{k}) = \frac{2 \pi I_{0}}{k^{2}}\cdot ak J_{1} (ak) \rightarrow \\ \tilde{f}(\vec{k}) = {2 \pi a I_{0}}\cdot \frac{J_{1} (ak) }{k}$$

Podemos exigir nesse ponto em diante que a função $f(r,\theta)$ seja normalizada, isto é, ao calcularmos sua integral sobre todo o plano, teremos o valor $1$ como resultado. Posto isto, teremos a seguinte restrição $I_{0}=(\pi a^2)^{-1}$. Logo,

$$\tilde{f}(\vec{k}) = 2 \frac{J_{1} (ak)}{ak}$$

No vídeo abaixo, temos a representação gráfica animada do efeito do aumento do raio do círculo na função transformada $\tilde{f}(\vec{k})$. 

   Com o aumento do raio $a$, a função transformada torna-se mais localizada na origem e, sobretudo, mantendo a simetria circular na forma dos anéis concêntricos nas vizinhanças pico central. Com efeito, outras figuras geométricas podem ser propostas como a elipse, o hexágono, o triângulo etc.

Referências:
Wolfram MathWorld / Função de Bessel de 1.ª ordem (inglês)
Wikipédia / Função de Bessel (inglês)
Applet Java que calcula a Transformada de Fourier de uma função densidade bidimensional