Calculo de PG e PA

A sequencia de3 numeros reais positivos dada por (2x+5,x+1,x/2,...) qual o quinto termo dassa progresao?

Resolução;

parece que é uma PG. [Se a,b,c estão em PG => b²=c.a]

(x+1)² = (x/2).(2x+5)

x²+2x+1 = x² + 5x/2

2x+1 = 5x/2

5x=2(2x+1)

5x = 4x +2

5x-4x = 2

x = 2

(2x+5, x+1, x/2,...) => x=2

(9, 3, 1,....) => PG decrescente, de razão q=1/3

a5 = a1.q⁴= 9. (1/3)⁴= 9. (1/81) = 9/81 = 1/9

Se fosse uma PA,

seja a PA (2x+5,x+1,x/2, ...)

a1=2x+5;

a2=x+1;

a3=x/2

sabe-se que an=a1+(n-1)r

então;

a5=a1 +(5-1)r

a5=a1 +4r (I)

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Como a PA(a1,a2,a3,a4,a5...)

note que a3 é o termo médio da PA

então fica;

a3=(a1+a5)/2

x/2=(2x+5+a5)/2

x=2x+5+a5

x-2x+5=a5

como a5=-x+5 (II)

Igualando a Ie II

temos

a5(I equação)=a5(II equação)

a1+4r=-x+5

(2x+5)+4r=-x+5 (cancelando 5)

2x+4r=x

4r=x-2x

r=-x/4

logo a5=a1+4r=> a5=(2x+5)+4(-x/4){cancelando 4}

a5=2x+5-x

a5=x+5

a5>0(positivo) satisfaz o enunciado

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Para encontrar o a5 de outro jeito

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seja a PG (2x+5,x+1,x/2, ...)

a1=2x+5;

a2=x+1;

a3=x/2

como o terno geral é an=a1.q^(n-1)

q=a3/a2

q=(x/2)/(x+1)=x/2(x+1)

a2=a1.q

a2=(2x+5).[x/2(x+1)]

(x+1)=(2x+5).[x/2(x+1)]

2(x+1)^2=(2x+5).x

2{x² +2.x.1 +2²)=2x²+5x

2x²+4x+4=2x²+5x (cancelando 2x²)

4x+4=5x

4x-5x=-4

-x=-4 (-1)

x=4

como q=4/2(4+1)

então q=4/2.5=4/10=2/5

substituindo, temos

a5=a1.q^4

como x=4

a1=2x+5

a1=2.4+5

a1=8+5=13

a5=a1.q^4

a5=13(2/5)^4

a5=13.(16/625)

a5=0,3328 (arrendondando o último algarismo)

a5=0,333=~1/9 (geratriz)

um grande abraço!