Problema de Função Quadrática

Um pedaço de arame, com 40 cm de comprimento, foi cortado em 2 pedaços de comprimentos diferentes. Os pedaços foram usados para fazer 2 quadrados que, juntos, formam uma área de 58 cm². Determine, em cm, o comprimento de cada pedaço em que o arame foi cortado.

 Comentários

Os comprimentos dos dois pedaços são  x  e  (40 - x).
Um dos quadrados tem lado  x/4  e área  x²/16.
O outro quadrado tem lado  (40 - x)/4  e área  (40 - x)²/16.
Então,  x²/16 + (40 - x)²/16 = x²/16 + 1600/16 - 80x/16 + x²/16 = 58.
Reduzindo e ordenando, encontramos a equação  x² - 40x + 336 = 0, cujas raízes são  x₁ =  28  e  x₂ = 12.
Logo, os 40 cm foram cortados em dois pedaços, um com 28 cm e outro com 12 cm.

ou Assim

Sejam a e b os lados dos dois quadrados construídos.
Desta forma, a soma do perímetro dos dois quadrados deve resultar no comprimento inicial do pedaço de arame, ou seja: 4a + 4b = 40 --> a+b = 10 --> b = 10 - a.
Se os dois quadrados juntos resultam numa área de 58 cm², então:
a² + b² = 58 ----> a² + (10-a)² = 58 ---> 2a²-20a+100 = 58 --> 2a²-20a+42 = 0 --> a²-10a+21 = 0 -->
a = (1/2) . (10 ± √(100 - 84)) = (1/2) . (10 ± √(16)) = (1/2) . (10 ± 4) --> a=7, b=3 ou a=3, b=7.
Em qualquer um dos casos, as dimensões dos quadrados são 3 cm e 7 cm, de forma que os perímetros de cada quadrado são 12 cm e 28 cm.
Logo, os comprimentos de cada pedaço eram 12 cm e 28 cm.