Permutação Simples ENEM 2014

Permutações Simples

Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção de misturar.

Se temos n elementos distintos, então o numero de agrupamentos ordenados que podemos obter com todos esses n elementos é dado por: n . (n – 1) . (n – 2) ... . 3 . 2 . 1

Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de permutações simples. Indicamos por Pn o número de permutações simples de n elementos:

Pn = n . (n – 1) . (n – 2) ... . 3 . 2 . 1

EXEMPLO:

Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra ANEL?

Resolução:

Há 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda, 2 possibilidades para a terceira e 1 possibilidade para a quarta posição. Sendo assim, concluímos que o número de anagramas da palavra se equivale a P4 = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

4- Operador Fatorial

O valor obtido com Pn é também chamado de fatorial do número n, e indicado por n! (lê-se “fatorial de n ou n fatorial”). Assim, temos

n! = n . (n – 1) . (n – 2) ... . 3 . 2 . 1 para n ≥ 1

EXEMPLO:

5! =5.4.3.2.1=120

8! =8.7.6.5.4.3.2.1=40320

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Importante: n >= 0 (n maior ou igual a zero) , ou seja, não existe fatorial para números negativos.

* O fatorial de 0 ( 0! ) é 1, pois o produto de número nenhum é 1.

O numero fatorial pode ser modificado para outras formas:

n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!

Exercícios (Permutações Simples e Operador Fatorial)

1) Calcule o valor ou simplifique:

a) 6!

b) $\frac{7!}{4!}$

c)$\frac{3!5!}{4!6!}$

d)$\frac{12!}{10!+9!}$

2) Quantas palavras (com significado ou não) de 3 letras podemos formar com as letras A, L e I? Quais são essas palavras?

3) Quantos números de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8? E de 4 algarismos distintos?

4) De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares para tirar uma foto?

5) De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares, ficando duas delas (por exemplo pai e mãe) sempre juntas, em qualquer ordem?

6) Quantos são os anagramas da palavra AMOR?

7) Quantos números naturais de algarismos distintos entre 5000 e 10000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 4 e 6?

8) (Unaerp – SP) Se $\frac{{x!(x+1}!}{{(x-1)!x!}}=20$, então x vale:
a) -6
b) -5
c) 4
d) 5
e) 6

Gabarito
1) .
a) 720
b) 210
c) 1/24
d) 120
2) 6 palavras
3) 256 números; 24 números
4) 120 maneiras
5) 48 maneiras
6) 24 anagramas
7) 6 números
8) C