ENEM 2014 - Determinantes continuação

Determinante da transposta

Um determinante não se altera quando trocamos ordenadamente as linhas pelas colunas, isto é:

$\color{green}{\boxed{\color{blue}{detA = detA^T}}}$

Exemplo:

$\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}\rightarrow A^T=\begin{pmatrix}3&2\\1&5\end{pmatrix}.$

$detA = detA^T = 13.$

Troca de sinal

Um determinante troca de sinal quando trocamos as posições de duas filas paralelas.

Exemplo:

$\begin{vmatrix}2&4\\-1&3\end{vmatrix}=10\,\text{e}\begin{vmatrix}4&2\\3&-1\end{vmatrix}=-10.$

Determinante do produto

Se A e B são duas matrizes quadradas e de mesma ordem, então:

$\color{green}{\boxed{\color{blue}{detA.B = detA.detB}}}$

Exemplo:

$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\rightarrow detA=-2.$


$\begin{pmatrix}0&-3\\2&5\end{pmatrix}\rightarrow detA=6.$

$(A.B)=\begin{pmatrix}4&7\\8&11\end{pmatrix}\rightarrow det(A.B)=-12.$

Matriz Triangular

O determinante de uma MATRIZ TRIANGULAR é calculado através do produto dos elementos de sua diagonal principal.

$\begin{vmatrix}3&1&4&2\\\color{red}0&3&2&1\\\color{red}0&\color{red}0&2&5\\\color{red}0&\color{red}0&\color{red}0&5\end{vmatrix}=3.3.2.5=90$

NOTE QUE: $detI_{n} = 1$, ($I_n$: matriz identidade de ordem n).

$I_3=\begin{vmatrix}1&0&0\\\color{red}0&1&0\\\color{red}0&\color{red}0&1\end{vmatrix}\rightarrow det(I_3)=1.1.1=1$