ENEM MED - SISTEMAS LINEARES

I. INTRODUÇÃO

A teoria dos teve origem DETERMINANTES em meados do século XVII, sendo desenvolvida, quase que simultaneamente, pelos matemáticos Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, na resolução de SISTEMAS LINEARES de equações.

Analisemos o sistema linear abaixo:

 $\text{S}:\begin{cases} ax+by=c\, (1)\\dx+ey=f \,(2)\end{cases}$

Onde x e y são as incógnitas e a, b, c e d são os coeficientes.

Para resolvermos (S), utilizaremos as seguintes etapas:

DETERMINAÇÃO DE X:

Multiplicar a equação (1) por e;

Multiplicar a equação (2) por – b;

Somar as novas equações obtidas:

 $\large\frac{\text{S}:\begin{cases}aex+bey=ce\, (I) \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,  (+) \\ -bdx+-bey=-bf \,(II)\end{cases}}{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,aex - bdx = ce - bf \rightarrow(ae - bd)x = ce - bf}$

De modo análogo, na determinação de y encontramos:

(ae - bd)y = af - cd

Chamando $\begin{cases} D=ae-bd.\\D_x=ce-bf. ,tem-se:\\D_y=af-cd.\end{cases}$

$x=\frac{D_x}{D}$ e $y=\frac{D_y}{D}$

ONDE:

D: Determinante do sistema.

Dx: Determinante da incógnita x.

Dy: Determinante da incógnita y.

A definição de DETERMINANTE, bem como o seu cálculo e utilização na resolução de SISTEMAS LINEARES, serão vistos, detalhadamente, nos próximos itens.

II. DEFINIÇÃO

O determinante de uma MATRIZ QUADRADA M, representado por detM, é um único número que se associa à matriz M.

Exemplo: Se $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$ então:

$DetA=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$

III.CÁLCULO DO DETERMINANTE

A depender da ordem da matriz, pode-se calcular o seu determinante, por um dos processos a seguir:

a) DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 1ª ORDEM:

O determinante de uma matriz de 1ª ordem é o único elemento da matriz.

$\color{Blue}{\boxed{A=(a_{11})\rightarrow\, DetA=a_{11}}}$

Exemplo:

$A = (-2)_{1x1}$ $\rightarrow\,$ detA = -2.

b) DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2ª ORDEM:

O determinante de uma matriz de 2ª ordem é o produto dos elementos de sua diagonal principal menos o produto dos elementos de sua diagonal secundária.

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$\rightarrow$$DetA=\xcancel{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$

$detA=a_{11}.a_{22}-a_{12}.a_{21}$

$A=\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}$$\rightarrow$$DetA=\xcancel{\begin{vmatrix}3&1\\2&5\end{vmatrix}}$

$detA=(3.5)-(1.2)\rightarrow \boxed{\color{red}{detA=13}}$

ATENÇÃO: det(A + B) ≠ detA + det B.

c) DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 3ª ORDEM:

No cálculo do determinante de uma matriz de 3a ordem, utiliza-se a regra prática de Sarrus:

1) Repetir, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas.

2) Multiplicar os elementos da diagonal principal e paralelas, como indicado no exemplo abaixo.

3) Multiplicar os elementos da diagonal secundária e paralelas, não esquecendo de inverter o sinal.

4) Somar todos os resultados obtidos; este será o determinante da matriz.

Exemplo: Se $\begin{pmatrix}2&0&1\\1&2&4\\2&1&0\end{pmatrix}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\begin{vmatrix}\bcancel{\color{red}2}&\bcancel{\color{red}0}&\xcancel{\color{red}1}&|\xcancel{\color{green}2}&\xcancel{0}\\1&\xcancel{\color{red}2}&\xcancel{4}&|\xcancel{1}&2\\\xcancel{\color{green}2}&\xcancel{\color{green}1}&\xcancel{\color{red}0}&|\bcancel{\color{red}2}&\bcancel{\color{red}1}\end{vmatrix}$

$\,\,\,\,\,\,\,\swarrow\,\,\,\,\,\,$$\swarrow\,\,\,\,\,\,$$\swarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$\searrow\,\,\,\,\,\,$$\searrow\,\,\,\,\,\,$$\searrow$

-4      -8      0                  0      0     +1

$DetA=+0+0+1-4-8+0$

$DetA=1-4-8$

$DetA=1-12$

$\color{red}{\boxed{\color{black}{DetA=-11}}}$

TESTES DE SALA

10. Determine o valor de x na igualdade abaixo:

$\begin{vmatrix}x-1&x\\2&3\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 2x&-x\\1&-1\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} -5&1\\-15&2\end{vmatrix}$

11. Determine o valor de x na equação

$\begin{vmatrix}2x&-1&0\\x&2&1\\3&1&1\end{vmatrix}=0$

IV PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Determinante 

Nulo

Um determinante é NULO quando:

a) Todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos.

b) Duas linhas ou colunas são iguais.

c) Duas linhas ou colunas são proporcionais.

d) Uma linha ou coluna é COMBINAÇÃO LINEAR das demais.

Exemplos:

a)$\begin{vmatrix}4&1&2\\0&0&0\\1&7&5\end{vmatrix}$

b)$\begin{vmatrix}1&1&3\\5&0&10\\1&1&3\end{vmatrix}$

c)$\begin{vmatrix}5&10&14\\5&10&20\\10&20&28\end{vmatrix}$

d)$\begin{vmatrix}1&3&4\\2&3&5\\3&4&7\end{vmatrix}$