Introdução ao estudo das Derivadas

Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f. x_o e f(x_o) serão as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, descrito por (x_o+h,f(x_o+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x).

A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto x_o:

 um ponto fixo e Q um ponto que se aproxima de P, ocupando as posições sucessivas Q₁, Q₂, Q₃,..., as secantes terão as posições por PQ₁, PQ₂, PQ₃, ... e as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente.

Esperamos que a razão incremental, se aproxime de um valor finito k, à medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, independentemente do fato que a abscissa de Q seja maior ou menor do que a abscissa de P, mas isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto P, como sendo aquela que passa por P e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a k.

O recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0.
Se o resultado assume valores positivos (negativos), cada vez mais próximos de zero, isto significa que a sequência de pontos Q_j está se aproximando do ponto P pela direita (pela esquerda).
Quando h-->0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por:

O limite da razão incremental somente tem sentido se o mesmo existe. Neste caso, se a função f for contínua no ponto x=x_o, então a reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(x_o,f(x_o)), será dada por:

y = f(x_o) + k (x-x_o)

Reta tangente a uma curva: Seja a parábola dada pela função f(x)=x². O coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto P=(1,1), é dado por:

A reta tangente à curva y=x² em P=(1,1) é y=2x-1.

Fonte>:  (http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/derivada/derivada1.htm)