11/08/2012

Transformada de Fourier vol.3. Simetria Circular

Transformada de Fourier vol.3. Simetria Circular


   Um interessante problema envolvendo Transformada de Fourier (FT) consiste na determinação das funções transformadas de objetos com certa simetria. Em postagens anteriores, observamos o comportamento da função transformada f~2(kx,ky) condizente com um retângulo LM. Observamos, em princípio, a manutenção da simetria retangular no espaço recíproco. O desafio desta vez realizar o mesmo procedimento na determinação da FT de um objeto circular. A ideia é que a função transformada mantenha a relação de reciprocidade em relação a dimensão do raio do círculo a.

f3(r⃗ )={I0,r⃗ a0,r⃗ >a


SOLUÇÃO: Novamente, devemos utilizar a versão bidimensional da transformada de Fourier, na qual explicitamos a simetria circular na forma das coordenadas polares r⃗ =(r,θ). Abaixo, o par de transformação:

f(r,θ)=1(2π)2 f~(k⃗ )exp(ik⃗ r⃗ ) dk⃗ f~(k⃗ )=+0rdr2π0dθf(r,θ)exp(ik⃗ r⃗ )

É importa salientar a correta escolha da simetria do sistema de coordenadas no espaço recíproco. No problema anterior, vimos que a simetria retangular é mantida ainda no espaço transformado, embora com o aumento de L ou M obtemos uma definição da superfície f2(kx,ky) no espaço k⃗ . No presente metier, devemos esperar uma complementaridade em relação aos ângulos do espaço real e aquele do espaço inverso. Dessa forma, devemos escrever que

k⃗ r⃗ =krcos(π2θ)=krsin(θ)f~(k⃗ )=I0a0rdr2π0dθf(r,θ)exp[ikrsin(θ)]

Lembramos que a função de Bessel de 1.ª ordem Jn(η) na sua representação integral tem a seguinte forma:

Jn(η)=12π2π0exp[i(ηsin(θ)nθ)]dθ

Para n=0, teremos o seguinte:

J0(η)=12π2π0exp[iηsin(θ)]dθ

Fazendo η=kr

2π0exp[ikrsin(θ)]dθ=2πJ0(kr)
Na expressão da Transformada de Fourier, finalmente obtem-se:

f~(k⃗ )=2πI0a0rdrJ0(kr)r=krr=rk f~(k⃗ )=2πI0k2ak0rdrJ0(r)

Um segunda identidade importante das funções de Bessel é expressa abaixo:

x0rn+1Jn(r)dr=xn+1Jn+1(x)n0 x0rJ0(r)dr=xJ1(x)

Substituindo x por ak, por fim, chegaremos a equivalência:

f~(k⃗ )= 2πI0k2akJ1(ak)f~(k⃗ )= 2π a I0 J1(ak) k

Podemos exigir nesse ponto em diante que a função f(r,θ) seja normalizada, isto é, ao calcularmos sua integral sobre todo o plano, teremos o valor 1 como resultado. Posto isto, teremos a seguinte restrição I0=(πa2)1. Logo,

f~(k⃗ )=2J1(ak)ak
No vídeo abaixo, temos a representação gráfica animada do efeito do aumento do raio do círculo na função transformada f~(k⃗ )


   Com o aumento do raio a, a função transformada torna-se mais localizada na origem e, sobretudo, mantendo a simetria circular na forma dos anéis concêntricos nas vizinhanças pico central. Com efeito, outras figuras geométricas podem ser propostas como a elipse, o hexágono, o triângulo etc.
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____________________________________________


α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ





PERFIL DO PROFESSOR


Formado em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Federal do Pará (UFPA/UFRJ/Consórcio CEDERJ), Já atuei em Belém e Castanhal como professor de Cursinho e Concurso, Cursos preparatórios: Hertz e Liderança.


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