Vimos que permutação simples de n elementos é qualquer agrupamento ordenado desses n elementos. Agora, tendo n elementos, vamos estudar os agrupamentos ordenados de 1 elemento, 2 elementos, 3 elementos, ..., de p elementos, com p ≤ n.
EXEMPLO:
Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números naturais de 3 algarismos distintos podemos formar?
Resolução:
Há 5 possibilidades para o primeiro algarismo, 4 para o segundo e 3 para o terceiro.
No total, podemos formar 5 . 4 . 3 = 60 números.
Dizemos neste exemplo que fizemos arranjos de 5 elementos 3 a 3, e o numero desses arranjos é 60. Indicamos assim: A5,3 = 5 . 4 . 3 = 60
Portanto, podemos concluir que: $\A_n,p=\frac{n!}{(n-p)!}$
1) Calcule:
a) A4,2
b) A6,3
c) A8,2
d) A4,4
e) A5,1
f) A7,0
g) A8,5
h) An,0
2) Determine a expressão correspondente a:
a) Ax,2
b) Ax-3,2
c) A2x+1,3
3) Determine o valor de x nas equações:
a) Ax-1,2 = 30
b) Ax,3 = x³ - 40
4) Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras é possível formar uma diretoria?
5) Responda às questões:
a) Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados pelos dígitos 4, 5, 6, 7 e 8?
b) Quantos desses números formados são ímpares?
6) De quantas maneiras podemos escolher um pivô e um ala num grupo de 12 jogadores de basquete?
7) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9:
a) Quantos números de três algarismos distintos podemos escrever?
b) Quantos números de quatro algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever?
c) Quantos números de sete algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
d) Quantos números de sete algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 5 e 6 sempre juntos e nessa ordem?
8) Num sofá há lugares para 4 pessoas. De quantas maneiras diferentes podem sentar-se 6 pessoas?
9) Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras ele poderá pintar os estados da região Sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor?
10) Responda:
a) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra FILHO?
b) Quantas “palavras” de 4 letras distintas é possível formar com as letras da palavra FILHO?
c) Quantas dessas “palavras” de 4 letras começam com O?
d) Quantas dessas “palavras” de 4 letras terminam com FI?
e) Quantas dessas “palavras” contêm a letra I?
11) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6:
a) Quantos números de 4 algarismos podemos formar?
b) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formas tal que o último algarismo seja sempre 6?
c) Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar?
d) Quantos números ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar?
12) De quantas maneiras diferentes podemos dispor uma equipe de 4 alunos numa sala de aula que tem 30 carteiras?
13) Dispomos de 5 cores e queremos pintar uma faixa decorativa com 3 listras, cada uma de uma cor. De quantas maneiras isso pode ser feito?
Portanto, podemos concluir que: $\A_n,p=\frac{n!}{(n-p)!}$
1) Calcule:
a) A4,2
b) A6,3
c) A8,2
d) A4,4
e) A5,1
f) A7,0
g) A8,5
h) An,0
2) Determine a expressão correspondente a:
a) Ax,2
b) Ax-3,2
c) A2x+1,3
3) Determine o valor de x nas equações:
a) Ax-1,2 = 30
b) Ax,3 = x³ - 40
4) Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras é possível formar uma diretoria?
5) Responda às questões:
a) Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados pelos dígitos 4, 5, 6, 7 e 8?
b) Quantos desses números formados são ímpares?
6) De quantas maneiras podemos escolher um pivô e um ala num grupo de 12 jogadores de basquete?
7) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9:
a) Quantos números de três algarismos distintos podemos escrever?
b) Quantos números de quatro algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever?
c) Quantos números de sete algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
d) Quantos números de sete algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 5 e 6 sempre juntos e nessa ordem?
8) Num sofá há lugares para 4 pessoas. De quantas maneiras diferentes podem sentar-se 6 pessoas?
9) Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras ele poderá pintar os estados da região Sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor?
10) Responda:
a) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra FILHO?
b) Quantas “palavras” de 4 letras distintas é possível formar com as letras da palavra FILHO?
c) Quantas dessas “palavras” de 4 letras começam com O?
d) Quantas dessas “palavras” de 4 letras terminam com FI?
e) Quantas dessas “palavras” contêm a letra I?
11) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6:
a) Quantos números de 4 algarismos podemos formar?
b) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formas tal que o último algarismo seja sempre 6?
c) Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar?
d) Quantos números ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar?
12) De quantas maneiras diferentes podemos dispor uma equipe de 4 alunos numa sala de aula que tem 30 carteiras?
13) Dispomos de 5 cores e queremos pintar uma faixa decorativa com 3 listras, cada uma de uma cor. De quantas maneiras isso pode ser feito?
Gabarito
1) .
a) 12
b) 120
c) 56
d) 24
e) 5
f) 1
g) 6720
h) 1
2) .
a) x² - x
b) x² - 7x + 12
c) 8x³ - 2x
3) .
a) 7
b) 4
4) 657720 maneiras
5) .
a) 120 números
b) 48 números
6) 132 maneiras
7) .
a) 504 números
b) 336 números
c) 2520 números
d) 15120 números
8) 360 maneiras
9) 360 maneiras
10) .
a) 120 anagramas
b) 120 palavras
c) 24 palavras
d) 6 palavras
e) 96 palavras
11) .
a) 360 números
b) 60 números
c) 180 números
d) 180 números
12) 657720 maneiras
13) 60 maneiras
1) .
a) 12
b) 120
c) 56
d) 24
e) 5
f) 1
g) 6720
h) 1
2) .
a) x² - x
b) x² - 7x + 12
c) 8x³ - 2x
3) .
a) 7
b) 4
4) 657720 maneiras
5) .
a) 120 números
b) 48 números
6) 132 maneiras
7) .
a) 504 números
b) 336 números
c) 2520 números
d) 15120 números
8) 360 maneiras
9) 360 maneiras
10) .
a) 120 anagramas
b) 120 palavras
c) 24 palavras
d) 6 palavras
e) 96 palavras
11) .
a) 360 números
b) 60 números
c) 180 números
d) 180 números
12) 657720 maneiras
13) 60 maneiras
Poste seu comentário!:
0 comments:
Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
____________________________________________
α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ