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08 janeiro 2014



O número de Euler

A base do logarítmo natural é o número de Euler, simbolizado por: e, ele é obtido pela definição do logaritmo natural, esse número corresponde á área sob a curva da função: f(x)= \frac {1}{x} , quando seu valor é unitário, ou seja:
\ln e = 1,
mais formalmente:
\int^e_{1} \frac {1}{x} d x = 1
O valor deste número pode ser encontrado por aproximação, utilizando-se os métodos de análise de seqûencias e séries, encontrados no livro: Cálculo (Volume 3).
A equação que fornece o valor do número de Euler é dada a seguir:
e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n
Nesta equação podemos observar que quanto mais alto o valor de n mais preciso se torna o valor de e.
De maneira simplificada, com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá-la da seguinte maneira:
Se f(x)= \ln x  então f\ '(x) = \frac {1}{x} , logo: f\ '(1) =1
Por outro lado, pela definição:
f\ '(x) = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (x+ \alpha) - \ln x}{\alpha}
Para f\ '(1) = 1 :
1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha) - \ln 1}{\alpha}
1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha)}{\alpha}
1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {1}{\alpha} \ln (1+ \alpha)
1 = \lim_{\alpha \to 0}  \ln (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}}
e = \lim_{\alpha \to 0} (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}}
Sendo: \alpha = \frac {1}{n}  e \lim_{\alpha \to 0} \alpha= \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n}
Concluimos que:
e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n

Teoremas

A maioria dos teoremas relacionados, têm origem nas conclusões obtidas no estudo do logarítmo natural, dos quais relacionamos os mais usados:

T39 - Soma

Seja a função f(x,y)= e^{x+y} , pode-se afirmar que:
f(x,y)= e^x \cdot e^y
Comprovação:
Considerando:  x=\ln\ a  e y=\ln\ b ,
x+y=\ln\ a\ +\ \ln\ b
x+y=\ln\ {ab}
logo:
e^{x+y} = e^{\ln\ {ab}}
e^{x+y} = ab
sendo: a = e^x e b=e^y ,
e^{x+y}= e^x \cdot e^y
O que comprova o teorema.

T40 - Subtração

De forma similar à análise anterior, sendo a função f(x,y)= e^{x-y}, pode-se afirmar que:
f(x,y)= \frac{e^x}{e^y}
Comprovação:
Considerando:  x=\ln\ a  e y=\ln\ b ,
x-y=\ln\ a\ -\ \ln\ b
x-y=\ln\ \frac{a}{b}
logo:
e^{x-y} = e^{\ln \frac{a}{b}}
e^{x-y} = \frac{a}{b}
sendo: a = e^x e b=e^y,
e^{x-y}= \frac{e^x}{e^y}
O que comprova o teorema.

T41 - Potência

Seja a função f(x,y)=\left(e^x\right)^y , pode-se afirmar que:
f(x,y)=e^{xy}
Comprovação:
f(x,y)=(e^x)^y
f(x,y)=e^{{\ln(e^x)}^y}
f(x,y)=e^{y \cdot \ln(e^x)}
f(x,y)=e^{y \cdot x}
O que comprova o teorema.

Derivadas

Consideremos que f(x)=e^x, e conseqüentemente:  x = \ln f(x) , se derivarmos implicitamente este expressão:
 d x = \frac {1}{f(x)} d f(x)
Curiosamente, teremos:
 f(x) = \frac{d f(x)}{d x}
 f(x) = f\ '(x)
Ou seja, a função exponencial natural é invariável durante o processo de derivação, o que traz uma série de implicações simplificadoras para estas funções.
Por outro lado se  f(x) = a^x , temos que:
a = e^{\ln a}
Fazendo u = x \cdot  \ln a e f(x)=e^u, teremos:
f\ '(x) = e^u \cdot \frac {d u}{\mbox {d} x}
Se \frac {d u}{\mbox {d} x} = \ln a , concluimos que:
 f\ '(x) = a^x \cdot \ln a
Que é adotada como uma derivada mais genérica, pois pode ser empregada em qualquer exponencial, pois inclui correção para o fator da base.

Integrais

Como não poderia ser diferente, o valor da integral da função exponencial natural f(x)=e^x  é a própria função, conforme a regra da reversibilidade entre a derivada e a integral, apenas sendo necessária a devida observação da base, para eventual correção da diferencial e conseqüente introdução de fator de correção, nos casos em que a função torna-se composta.
Desta forma, temos:
\int e^x d x = e^x + C , 
Sendo C constante.

Logarítmicas com outras bases

Como foi visto durante o ensino médio, os logaritmos têm uma definição direta e que denota a sua finalidade de expressar o valor do expoente em uma operação exponencial, a definição pura é dada da seguinte forma:
Se  x=a^n  então,
\log_a x = n 
Onde: a é chamada base do logaritmo, x é o logaritmando e n é o expoente.
O logaritmo é, portanto, a operação pela qual se obtém o expoente necessário para que a base seja elevada, numa operação exponencial e se obtenha o número x.
A função logarítmica de base a pode ser expressa da seguinte forma:
f(x)=\log_a x
O que nos possibilita encontrar um valor para cada x expresso na equação.

Mudança de base

Analisemos agora a possibilidade de encontrar uma função logarítmica de uma base a e transformá-la em uma função logarítmica de base natural, ou outra base qualquer:
Seja a função y=\log_a x , podemos dizer que:
x= e^{\ln x}  e que a=e^{\ln a} ,
como: x =  a^y ,
 x = (e^{\ln a})^y ,
 x = e^{y \cdot \ln a} ,
 \ln x = y \cdot \ln a ,
O que nos possibilita afirmar que:
y = \frac{\ln x}{\ln a} ,
ou
\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} .
Note que a analogia serve para funções logarítmicas de qualquer base, visto que podemos substituir \ln x  por \log_z x sendo z a base que substituirá e na análise anterior.
O que nos possibilita considerar que quando temos duas bases, sejam: a e b, podemos promover a troca das bases, de forma que:
\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} 

Derivadas

A derivada da função logarítmica com base diferente de e pode ser feita por substituição da base. Considerando f(x)=\log_a x , temos que:
\log_a x = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x ,
f(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x ,
logo:
f\ '(x) = \frac {d \left( \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x \right)}{d x}
f\ '(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac {d (\ln x)}{d x}
f\ '(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac {1}{x}
Que nos dá a derivada:
f\ '(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a} 
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∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
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