Procedimento muito útil para estudar a função quadrática é o completando o quadrado. Basicamente o método se resume na observação de que:
x^2+px=\large(x+\frac{p}{2})^2 -\frac{p^2}{4}.
Exemplo 1:
x^2 +10x=x^2+2.5.x+5^2-5^2=(x+5)^2-25
Exemplo 2:
3x^2+12x+5=3(x^2+4x)+5=3[(x+2)^2-4]+5=3(x+2)^2-7.
Genericamente, dada a função quadrática f(x)= ax^2+bx+c, escrevemos:
f(x)= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}
é muito importante e conveniente escrevermos m=-\frac{b}{2a} e k=\frac{(4ac-b^2)}{4a}. Verifica-se facilmente que k=f(m). Com esta notação, temos, para todo x∈ℝ:
f(x)=a(x-m)^2+k, onde m=-\frac{b}{2a} e k=f(m).
Esta é chamada forma canônica do trinômio f(x)= ax^2+bx+c.
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Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
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α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ