O número de Euler

A base do logarítmo natural é o número de Euler, simbolizado por: e, ele é obtido pela definição do logaritmo natural, esse número corresponde á área sob a curva da função: $f(x)= \frac {1}{x}$ , quando seu valor é unitário, ou seja:

$\ln e = 1$ ,

mais formalmente:

$\int^e_{1} \frac {1}{x} d x = 1$

O valor deste número pode ser encontrado por aproximação, utilizando-se os métodos de análise de seqûencias e séries, encontrados no livro: Cálculo (Volume 3).

A equação que fornece o valor do número de Euler é dada a seguir:

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n$

Nesta equação podemos observar que quanto mais alto o valor de n mais preciso se torna o valor de e.

De maneira simplificada, com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá-la da seguinte maneira:

Se $f(x)= \ln x$ então $f\ '(x) = \frac {1}{x}$ , logo: $f\ '(1) =1$

Por outro lado, pela definição:

$f\ '(x) = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (x+ \alpha) - \ln x}{\alpha}$

Para $f\ '(1) = 1$ :

$1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha) - \ln 1}{\alpha}$

$1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha)}{\alpha}$

$1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {1}{\alpha} \ln (1+ \alpha)$

$1 = \lim_{\alpha \to 0} \ln (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}}$

$e = \lim_{\alpha \to 0} (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}}$

Sendo: $\alpha = \frac {1}{n}$ e $\lim_{\alpha \to 0} \alpha= \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n}$

Concluimos que:

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n$

Teoremas

A maioria dos teoremas relacionados, têm origem nas conclusões obtidas no estudo do logarítmo natural, dos quais relacionamos os mais usados:

T39 - Soma

Seja a função $f(x,y)= e^{x+y}$ , pode-se afirmar que:

$f(x,y)= e^x \cdot e^y$

Comprovação:

Considerando: $x=\ln\ a$ e $y=\ln\ b$ ,

$x+y=\ln\ a\ +\ \ln\ b$

$x+y=\ln\ {ab}$

logo:

$e^{x+y} = e^{\ln\ {ab}}$

$e^{x+y} = ab$

sendo: $a = e^x$ e $b=e^y$ ,

$e^{x+y}= e^x \cdot e^y$

O que comprova o teorema.

T40 - Subtração

De forma similar à análise anterior, sendo a função $f(x,y)= e^{x-y}$ , pode-se afirmar que:

$f(x,y)= \frac{e^x}{e^y}$

Comprovação:

Considerando: $x=\ln\ a$ e $y=\ln\ b$ ,

$x-y=\ln\ a\ -\ \ln\ b$

$x-y=\ln\ \frac{a}{b}$

logo:

$e^{x-y} = e^{\ln \frac{a}{b}}$

$e^{x-y} = \frac{a}{b}$

sendo: $a = e^x$ e $b=e^y$ ,

$e^{x-y}= \frac{e^x}{e^y}$

O que comprova o teorema.

T41 - Potência

Seja a função $f(x,y)=\left(e^x\right)^y$ , pode-se afirmar que:

$f(x,y)=e^{xy}$

Comprovação:

$f(x,y)=(e^x)^y$

$f(x,y)=e^{{\ln(e^x)}^y}$

$f(x,y)=e^{y \cdot \ln(e^x)}$

$f(x,y)=e^{y \cdot x}$

O que comprova o teorema.

Derivadas

Consideremos que $f(x)=e^x$ , e conseqüentemente: $x = \ln f(x)$ , se derivarmos implicitamente este expressão:

$d x = \frac {1}{f(x)} d f(x)$

Curiosamente, teremos:

$f(x) = \frac{d f(x)}{d x}$

$f(x) = f\ '(x)$

Ou seja, a função exponencial natural é invariável durante o processo de derivação, o que traz uma série de implicações simplificadoras para estas funções.

Por outro lado se $f(x) = a^x$ , temos que:

$a = e^{\ln a}$

Fazendo $u = x \cdot \ln a$ e $f(x)=e^u$ , teremos:

$f\ '(x) = e^u \cdot \frac {d u}{\mbox {d} x}$

Se $\frac {d u}{\mbox {d} x} = \ln a$ , concluimos que:

Que é adotada como uma derivada mais genérica, pois pode ser empregada em qualquer exponencial, pois inclui correção para o fator da base.

Integrais

Como não poderia ser diferente, o valor da integral da função exponencial natural $f(x)=e^x$ é a própria função, conforme a regra da reversibilidade entre a derivada e a integral, apenas sendo necessária a devida observação da base, para eventual correção da diferencial e conseqüente introdução de fator de correção, nos casos em que a função torna-se composta.

Desta forma, temos:

12,

Sendo C constante.

Logarítmicas com outras bases

Como foi visto durante o ensino médio, os logaritmos têm uma definição direta e que denota a sua finalidade de expressar o valor do expoente em uma operação exponencial, a definição pura é dada da seguinte forma:

Se $x=a^n$ então,

Onde: a é chamada base do logaritmo, x é o logaritmando e n é o expoente.

O logaritmo é, portanto, a operação pela qual se obtém o expoente necessário para que a base seja elevada, numa operação exponencial e se obtenha o número x.

A função logarítmica de base a pode ser expressa da seguinte forma:

$f(x)=\log_a x$

O que nos possibilita encontrar um valor para cada x expresso na equação.

Mudança de base

Analisemos agora a possibilidade de encontrar uma função logarítmica de uma base a e transformá-la em uma função logarítmica de base natural, ou outra base qualquer:

Seja a função $y=\log_a x$ , podemos dizer que:

$x= e^{\ln x}$ e que $a=e^{\ln a}$ ,

como: $x = a^y$ ,

$x = (e^{\ln a})^y$ ,

$x = e^{y \cdot \ln a}$ ,

$\ln x = y \cdot \ln a$ ,

O que nos possibilita afirmar que:

12,

12.

Note que a analogia serve para funções logarítmicas de qualquer base, visto que podemos substituir $\ln x$ por $\log_z x$ sendo z a base que substituirá e na análise anterior.

O que nos possibilita considerar que quando temos duas bases, sejam: a e b, podemos promover a troca das bases, de forma que:

Derivadas

A derivada da função logarítmica com base diferente de e pode ser feita por substituição da base. Considerando $f(x)=\log_a x$ , temos que:

$\log_a x = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x$ ,

$f(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x$ ,

logo:

$f\ '(x) = \frac {d \left( \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x \right)}{d x}$

$f\ '(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac {d (\ln x)}{d x}$

$f\ '(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac {1}{x}$

Que nos dá a derivada:

Fonte:http://pt.wikibooks.org/

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Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
____________________________________________

α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
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