6/27/2017

Estudo dos Logaritmos e Exercícios de Funções Exponencial


Definição

Chamamos logaritmo de um número real e positivo `b` em relação a base `a`, positiva e diferente de 1, ao expoente que se deve dar à base `a`, para que resulte uma potência igual a `b`.
ou seja:
\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b
Com a > 0, a \neq 1 e b > 0
Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que "a" é a base do logaritmo, "b" é o logaritmando e "x" é o logaritmo.
Exemplo: \log_2 16 = 4, pois 2^4 = 16.

Definições

I) O logaritmo cujo o logaritmando é igual a 1 e a base é qualquer, é igual a zero:
\log_a 1 = 0, pois a^0 = 1
II) O logaritmo cujo a base e o logaritmando são iguais é igual a um:
\log_a a = 1, pois a^1 = a
III) A potência de base "a" e expoente \log_a b é igual a b:
a^{\log_a b} = b
IV) Dois logaritmos são iguais, numa mesma base, se os logaritmandos são iguais:
\log_a b = \log_a c \Leftrightarrow b = c

Propriedade dos logaritmos

1. Logaritmo do produto

O logaritmo do produto de dois fatores "a" e "b", em qualquer base "c", é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.
Se c > 0 e c \neq 1, a > 0, b > 0, então:
\log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b
Exemplo: \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2+3 = 5

2. Logaritmo do quociente

O logaritmo do quociente de dois fatores a e b, em qualquer base c, é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses fatores.
Se c > 0 e c \neq 1, a > 0, b > 0, então:
\log_c \left(\frac{a}{b}\right) = \log_c a - \log_c b
Exemplo: \log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 27 - \log_3 9 = 3 - 2 = 1

3. Logaritmo da potência

O logaritmo de uma potência, em qualquer base c, é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência.
Se a > 0 e a \neq 1, b > 0, c \in \mathbb{R}, então:
\log_ a b^c = c \cdot \log_a b
Exemplo: \log_3 9^5 = 5 \cdot \log_3 9 = 5 \cdot 2= 10

4. Logaritmo de uma raiz

O logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é o produto entre o inverso do índice da raiz pelo logaritmo cujo o logaritmando é o radicando:
Se a > 0 e a \neq 1, b > 0, n \in \mathbb{N}^*, então:
\log_a \sqrt[n]{b} = \log_a b^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \cdot \log_a b
Exemplo: \log_5 \sqrt[3]{25} = \frac{1}{3} \cdot \log_5 25 = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

Mudança de Base

Algumas vezes, os logaritmos com bases diferentes precisam ser transformados para outra base, de forma que ela seja a mesma para ambos.
Se a, b e c são números reais positivos, então:
\log_ a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}, a \neq 1 e c \neq 1
Exemplo: \log_3 5 transformado para a base 2 fica:
\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}
Se a e b são reais positivos e quisermos transformar \log_a b para a base b, temos:
\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} = \frac{1}{\log_b a}, a \neq 1 e b \neq 1
Exemplo: \log_3 4 = \frac{1}{\log_4 3}
Se a e b são reais positivos, temos que:
\log_{a^\beta} b = \frac{1}{\beta} \cdot \log_a b, a \neq 1 e \beta \neq 0
Exemplo: \log_{3^5} 10 = \frac{1}{5} \cdot \log_3 10

    Referência:
    DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Logaritmos. Vol. 2. São Paulo: Atual, 1997.

    Arquivado em: Matemática
    -------------------------------------------------------------------------

     Lista de Exercícios – Logaritmos




    1) Em Química, defini-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração de H3O+ . O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de $H_{3}$O+ é 4,8. 10$^{-8}$ mol/l. Qual será o pH desse líquido?
    Do enunciado tiramos,

    pH=-log[$H^{+}$]


    ;[] significa concentração.

    Assim temos,
    pH=-log(4,8.10^{-8})

    pH=-log4,8+8.log10

    \boxed{pH\approx 7,3}



    2) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:

    altura: H(t) = 1 + (0,8).$log_{2}$ (t + 1)

    diâmetro do tronco: D(t) = (0,1).2 $^ \frac{t}{7}$

    com H(t) e D(t) em metros e t em anos.

    a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.

    b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.


    Função Exponencial




    PROBLEMAS DE FUNÇÃO EXPONENCIAL

    Chama-se função exponencial a função tal que em que , . O número é chamado de base da função. A função exponencial pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se , a função é crescente. Caso a função é decrescente.[1][2]

    A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é[3],
    {{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a}} \atop n},
    Esta definição implica as seguintes propriedades:
    • a^{{n+m}}=a^{n}a^{m};
    • a^{{nm}}=\left(a^{n}\right)^{m}.
    A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:
    • a^{{0}}=1,\quad \forall a\neq 0;
    • a^{{-n}}={\frac  {1}{a^{n}}},\quad \forall a\neq 0,~~n\in {\mathbb  {N}};
    • a^{{{\frac  {1}{n}}}}={\sqrt[ {n}]{a}},\quad \forall a>0,~~n\in {\mathbb  {N}};
    • a^{{{\frac  {n}{m}}}}={\sqrt[ {m}]{a^{n}}},\quad \forall a>0,~~n\in {\mathbb  {Z}}~~m\in {\mathbb  {N}}.
    A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:[4]
    a^{x}=\sup _{{{\frac  {n}{m}}<x}}a^{{{\frac  {n}{m}}}},a>1;
    a^{x}=\inf _{{{\frac  {n}{m}}<x}}a^{{{\frac  {n}{m}}}},a<1.
    De fato, a função y = ax é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:
    • f(x+y)=f(x)f(y);
    • f(1)=a.
    No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:[4]
    • a^{x}=e^{{\ln(a)x}}.
    A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:
    • a^{{1}}=a
    • a^{{x+y}}=a^{x}a^{y},~~\forall x,y\in {\mathbb  {R}}
    A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:
    1. a^{{-x}}={\frac  {a^{{(-x)+x}}}{a^{x}}}={\frac  {a^{{0}}}{a^{x}}}={\frac  1{a^{x}}},~~\forall x\in {\mathbb  {R}}

    Fonte na Integra (wikipedia)


    3) Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1.000 traíras na represa e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das populações de lambaris e traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis L(t)=L³10  T(t)=T³2 , onde L³ é a população inicial de lambaris, T³, a população inicial de traíras e t, o número de anos que se conta a partir do ano inicial. Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos?

    a)30                     b)                   18 c)12                   d)6                    e)3
    Trata-se de um problema a ser solucionado com aplicação de logaritmos.

    Para descobrir o valor de t devemos fazer L(t) = T(t) e inserir os valores de $L_o$=8 e $T_o$=1.000 , pode ser resolvido também por exponencial vejamos:

    Assim faremos:


    L(t) = T(t)
    $L_o.10^t$= $T_0. 2^t $ ( aplicando a propriedade da potência em ($10^t$)
    $L_o.(2.5)^t$= $T_0. 2^t $
    $L_o{\cancel{2^t}}5^t$= $T_0 {\cancel{2^t}}$
    $8.5^t $= $1000$ (lembrando que 8=2³ e 1000=10³)
    isolando $5^t$
    $5^t$=$\frac{10^3}{2^ 3}$
    $5^t$=$(\frac{10}{2})^3$
    $\cancel{5}^t$=$\cancel{5}^3$
    $t=3 anos$


    4) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função . Nessas condições, qual o tempo necessário para que a população de bactérias seja de 51.200 bactérias?


     


    5) Segundo o modelo malthusiano para crescimento populacional, as populações podem crescer sem limites. Apesar desse aspecto, o modelo funciona bem durante um certo tempo.Utilizando dados dos censos de 1940 a 1991, o modelo prevê para a população brasileira um crescimento segundo a equação: P(t) = 40e0,02t , sendo P(t) a população, em milhões de habitantes em cada ano t, e t = 0 o ano de 1940.De acordo com a projeção malthusiana, determine o ano a partir do qual a população brasileira irá ultrapassar os 200 milhões de habitantes. Considere ln 5 = 1,6. (Resposta => 2020)
     6) (UMC-SP) O crescimento de uma cultura de bactérias obedece a função $N(t) = 600.3^{kt}$ onde N é o número de bactérias no instante t, sendo t o tempo em horas. A produção tem inicio em t = 0. Após 24 horas há 1800 bactérias ao todo. Determine o valor de k, e o número de bactérias após 24 horas.
    N = Numero de bactérias no instante t.
    T = Tempo fornecido em horas.
    Início da produção ⇒ t 0
    Após 12 h = 1800 Bactérias (Total)
    N(t) = 600*3^{kt}

    (Primeiro, descobrimos o valor de k):

    N(12) = 600*3^{k*12} = 1800   (Dividimos por 600):

    3^{(12k)} = 3

    12 k = 1 
    ⇒ k =  \frac{1}{12}
    (Agora, descobrimos o número de bactérias em 24 horas):

    N(24) = 600*3^{( \frac{1}{12})*24 }

    N(24) = 600*3^{2} = 5400
    R.: O total de Bactérias em 24 horas é 5400
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    Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
    ____________________________________________


    α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
    ½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
    ∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
    outros
    √ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ





    PERFIL DO PROFESSOR


    Formado em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Federal do Pará (UFPA/UFRJ/Consórcio CEDERJ), Já atuei em Belém e Castanhal como professor de Cursinho e Concurso, Cursos preparatórios: Hertz e Liderança.


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