7/05/2017

COMBINAÇÃO LINEAR




       Uma expressão da forma $a_1u_1$ + $a_2u_2$+ . . . +$a_nu_n$ = w, onde $a_1$ , $a_2$ , . . . , $a_n$  são escalares e $u_1$, $u_2$, . . .,$u_n$ e w, vetores do ? n  chama-se combinação linear.

                               Em outras palavras, sejam V um espaço vetorial real ( ou complexo), $v_1$, $v_2$,...,$v_n$ ? V e $a_1$ ,...,$a_n$, números ? (ou complexos).

                               Então o vetor  é um elemento de V, e dizemos que “v” é uma combinação linear de $v_1$,...,$v_n$.

                               W = [ $v_1$,...,$v_n$] é chamado subespaço quando por $v_1$,..., $v_n$.

                               Por exemplo, os vetores $e_1$ = (1, 0, 0); $e_2$ = (0, 1, 0) e  $e_3$ = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial $\Re^3$, pois qualquer vetor (a, b, c) ? $\Re^3$ pode ser escrito como combinação linear dos $e_i$, especificamente:

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

                               Sendo u = (x, y, z) se o sistema de equações lineares resultante da combinação linear não for consistente, isto é, não tiver solução, então o vetor não pode ser escrito como combinação linear, logo não gera um espaço.

Exemplos.:

1) Sejam  e os escalares $a_1$ = 2 e $a_2$ = -1. Podemos encontrar um vetor = (x, y) que seja combinação linear de

   (x, y) = 2.(3, 1) + (-1).(2, 4) = (4, -2) 

2) Sejam os vetores = (1, -3, 2) e = (2, 4, -1).

O vetor = (-4, -18, 7) pode ser escrito como combinação linear de .

(-4, -18, 7) = a1.(1, -3, 2) + a2.(2, 4, -1)

Mandem sugestões de Tópicos da Algebra I e II que comentaremos aqui

BLOG do MANTHANO
http://manthanos.blogspot.com.br/2012/12/comentario-sobre-produto-interno.html#more
visite este Blog

Comentário sobre produto interno


Esta postagem, de caráter explicativo/introdutório/elementar é direcionada para quem tem pouca familiaridade com a noção de produto interno e tem o objetivo de auxiliar a compreensão de duas postagens posteriores.

Lembremos que quando falamos de funções cujo domínio é R, é costumeiro utilizar o símbolo x para representar um elemento qualquer de R e a notação f(x)  para representar a imagem do elemento x.

Por sua vez, quando o domínio da função é R×R=R2 frequentemente utilizamos o símbolo (x,y) para representar um elemento de R2 e a notação f(x,y) para representar a imagem do elemento (x,y). Assim, a notação f((x,y)) é, usualmente, deixada de lado.

Fato simples, mas talvez pouco notado, é que às vezes dispensamos até mesmo a notação f(x,y)  ao lidarmos com uma função de duas variáveis. Por exemplo, quando o assunto é a adição não escrevemos f(2,8)=10 mas sim 2+8=10 (e a adição é uma função que leva R2 em R).

Algo semelhante ocorre com o produto interno. Mas o que mesmo é um produto interno?

Dado um espaço vetorial real V, um produto interno em V é uma função f:V×VR que cumpre as seguintes condições:

f(u,v)=f(v,u)

f(u+w,v)=f(u,v)+f(w,v)

f(ku,v)=kf(u,v)

f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)

f(u,kv)=kf(u,v)

f(u,u)>0 quando u0

E isso tem que valer sempre, quaisquer que sejam u,v,wV e kR.

O produto interno mais comum (talvez o primeiro com o qual entramos em contato) é aquele definido em Rn através da expressã

uv=u1v1+u2v2++unvn

onde u=(u1,u2,...,un) e v=(v1,v2,...,vn) são vetores de Rn (o leitor interessado poderá verificar que esta operação satisfaz todas as condições acima mencionadas e que, portanto, realmente se trata de um produto interno no sentido da definição dada).

Correndo o risco de parecer redundantes, frisamos que num contexto mais amplo, não apenas esta operação é denominada de produto interno mas também qualquer outra que satisfaz as condições listadas.

Outra coisa para se notar é que neste caso específico, em vez de usarmos a notação f(u,v) para indicar a imagem do par (u,v)Rn×Rn utiliza-se simplesmente uv. No mesmo contexto em que esta notação ocorre, tal operação é conhecida como produto escalar e, em outros contextos (nos mais gerais), ela é conhecida como produto interno canônico. O fato é que nem mesmos nestes “outros contextos” se costuma utilizar a notação f(u,v) para representar o produto interno de u e v. Na prática, o que se utiliza é u,v. Substituindo esta notação nas seis condições acima mencionadas, o leitor poderá obter um enunciado convencional da definição de produto interno em espaços vetoriais reais.
Compartilhar:
←  Anterior Proxima  → Inicio

Um comentário:

Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
____________________________________________


α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ





PERFIL DO PROFESSOR


Formado em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Federal do Pará (UFPA/UFRJ/Consórcio CEDERJ), Já atuei em Belém e Castanhal como professor de Cursinho e Concurso, Cursos preparatórios: Hertz e Liderança. Técnico em Saneamento -IFPA - Representante titular do Comitê Gestor do Programa de Educação Ambiental e Agricultura Familiar - PEAAF no Estado do Pará.(SEMAS/SEDUC). Integrante da Educação Ambiental da Secretaria de Estado de Educação do Estado do Pará (SEDUC-PA).


Ajude-nos! A melhorar nosso blog

Total de visualizações


usuários online

Blogue filiado em

Marcadores

Seguidores

Postagens populares

Apoio

Tecnologia do Blogger.

Formulário de contato

Nome

E-mail *

Mensagem *

Seguidores

Videos

Loading...

Blog Archive

Top Mais

Marcadores

Anúncio