Geometria Analítica - Circunferência - Posições Relativas

Problema 1
Obtenha os Pontos de intersecção entra a reta r e a circunferência l, sendo r:3x + 4y -35 = 0 e l: x² + y² - 4x - 2y - 20 = 0

Nesse tipo de questão você deve isolar o "x" e depois o "y"  e em seguida substitui-lo na equação da circunferência...<br>Primeiro irei isolar o "x", na equação da reta.
$$3x+4y-35=0\\
3x=-4y+35\\
x=\frac{-4y+35}{3}\\$$
Agora substituir na equação da circunferência, a fim de achar os pontos de intersecção...

$$x^{2}+y^{2}-4x-2y-20=0$$

$$\left (\frac{-4y+35}{3} \right )^{2}+y^{2}-4\ast \left (\frac{-4y+35}{3} \right )-2y-20=0$$
Aplicando produtos notáveis aonde está elevado ao quadrado... vai ficar...
$$\frac{16y^{2}}{9}-\frac{280y}{9}+\frac{1225}{9}+y^{2}+\frac{16y-140}{3}-2y-20=0$$
Tirando o mmc de toda a equação, você vai encontrar...

$$16y^{2}-280y+1225+9y^{2}+48y-420-18y-180=0\\\ 25y^{2}-250y+25=0$$
-----> Dividindo geral por 25... $$y^{2}-10y+25=0$$

Agora é só resolver que você vai encontrar que as raízes da equação, que são:
$$\S=\left \{ 5;5 }\right \$$\\

Logo você já encontrou o valor de "y" ... dos pontos de intersecção...
A(x,5) e B(x,5) ...
Agora você deve fazer a mesma coisa com o "x"... isole o "y" na equação da reta e em seguida substitua-lo na equação da circunferência e encontrará uma equação de 2° grau que te dará os valores de "x"...
Agora isolando o "y" ...
$$3x+4y-35=0 \\
4y=-3x+35\\
y=\frac{-3x+35}{4}\\
x^{2}+\left (\frac{-3x}{4}+\frac{35}{4} \right )^{2}-4x-2\ast \left ( \frac{-3x+35}{4} \right )-20=0\\
x^{2}+\frac{9x^{2}}{16}-\frac{210x}{16}+\frac{1225}{16}-4x+\frac{6x-70}{4}-20=0\\
16x^{2}+9x^{2}-210x+1225-64x+24x-280-320=0\\
25x^{2}-250x+625=0\\
x^{2}-10x+25=0\\
S=\left \{ 5;5 \right \}$$
Logo os pontos de intersecção entre as retas são: A(5;5) e B(5;5) ..