Resolução e Exercícios Regra da Cadeia

A primeira derivada a gente calcular pela regra do produto:

$y'=(x)'\cdot\sqrt[3]{x+2}+x(\sqrt[3]{x+2})'. $
$g(y_0)=\sqrt[3]y_0$ $y_0=f(x)=x+2$

$(\sqrt[3]{x+2})=g(f(x))\Rightarrow g'(f(x))=g'(y_0)\cdot f'(x)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{y_0^2}}\cdot 1=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

Ou seja, a primeira derivada é $\sqrt[3]{x+2}+\dfrac{x}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

 Vamos calcular a derivada disso: $\left(\sqrt[3]{x+2}+\dfrac{x}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}\right)'=(\sqrt[3]{x+2})'+\left(\dfrac{x}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}\right)'$

A derivada da primeira parcela sai pela regra da cadeia como fizemos anteriormente: $(\sqrt[3]{x+2})'=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

A derivada da segunda parcela sai pela regra do quociente:

$\left(\dfrac{x}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}\right)'=\dfrac{(x)'3\sqrt[3]{(x+2)^2}-x\left(3\sqrt[3]{(x+2)^2}\right)'}{\left(3\sqrt[3]{(x+2)^2}\right)^2}=\dfrac{3\sqrt[3]{(x+2)^2}-3x\dfrac{2x+4}{3\sqrt[3]{(x+2)^4}}}{\left(3\sqrt[3]{(x+2)^2}\right)^2}$ $=\dfrac{3\sqrt[3]{(x+2)^2}-\dfrac{2x^2+4x}{(x+2)\sqrt[3]{x+2}}}{9(x+2)\sqrt[3]{x+2}}=\dfrac{\dfrac{3(x+2)^2-2x^2-4x}{(x+2)\sqrt[3]{x+2}}}{9(x+2)\sqrt[3]{x+2}}=\dfrac{x^2+8x+12}{9(x+2)^2\sqrt[3]{(x+2)^2}}\\ \\ \\ =\dfrac{(x+2)(x+6)}{9(x+2)^2\sqrt[3]{(x+2)^2}}=\dfrac{x+6}{9(x+2)\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

Terminamos a derivada da segunda parcela. Basta calcular agora:
$\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}+\dfrac{x+6}{9(x+2)\sqrt[3]{(x+2)^2}}=\dfrac{3(x+2)+(x+6)}{9(x+2)\sqrt[3]{(x+2)^2}} =\dfrac{4x+12}{9(x+2)\sqrt[3](x+2)^2}$





$=\boxed{\dfrac{4x+12}{9\sqrt[3]{(x+2)^5}}}$