Livro do Stewart: Seções 1.5 e 1.6.
No que segue, apresentamos uma definição formal para a exponenciação $a^x$, para quaisquer $\in$\Re$ e a>0 .
Se $a\neq\,0$ , por definição coloca-se $a^2=a.a,\,a^3=a.a.a$ e assim por diante. Ou seja, para todo n $\in${2,3,4...}define-se $a^2$como o produto de n fatores iguais ao número a. Nesta definição não podemos incorporar o caso n=1, pois para calcularmos $a^n$ utilizamos um produto, e para isto é necessário a existência de dois ou mais fatores. Entretanto, por analogia aos casos $a^2=a.a$ e $a^2=a.a$, parece ser natural definirmos $a^1=a$. Entretanto existe uma outra explicação para essa definição. A potenciação que acabamos de definir possui a seguinte propriedade:
$a^n.a^m=a^{n+m}$(*)
Para qualquer n,m $\in${2,3,4...}. Assim definiremos $a^1$ decorrentemente devemos escolher o valor de $a^1$ de modo que a igualdade (*) também seja verdadeira para o caso em que n ou m seja iguais a 1. Se este é o nosso desejo, em particular, devemos ter: $a^1.a^1=a^{1+1}=a^2=a.a$ logo $a^1.a^1=a.a$. Desta igualdade, também surge a definição natural $a^1=a$.
No caso $a^0$ é análogo( ainda supondo que $a\neq$0 para definir este número é interessante que ele obedeça a propriedade(*). Dessa propriedade, em particular devemos ter: $a^0.a^1=a^{a+1}\rightarrow a^0.a=a$. Esta última implica que $a^0=1$. Portanto as igualdade $a¹=a$ e $a^0=1$ são definidas de maneira a garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para qualquer inteiro n e m positivos ou negativos. Para isto ser verdade em particular devermos ter $a^n.a^{-n}=a{n+(-n)}=a^0=1$. Daqui segue que $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ para todo inteiro positivo n.
Antes de continuar, devemos responder o que acontece nestas definições se tentamos colocar a=0 . Ora, para n inteiro positivo, não existe problema algum $0^n=0$. Por outro lado, se $n\geq 1$ então $0^{-n}$ não está definido pois deveríamos ter $0^{-n}=\frac{1}{0^n}=\frac{1}{0}$ que não existe. Mas ainda, 0 também não está definido pois, por exemplo, neste caso existe o seguinte problema: $0^0=0^{1-1}=0^1.0{-1}=\frac{0}{0}$ e a divisão não é possível.
Até o momento temos uma definição para $a^n$ para todo expoente n inteiro. Agora queremos definir $a^q$ para expoentes racionais. Esta definição também será dada de modo a garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para todos os expoentes n e m racionais. Vejamos:se $q=\frac{m}{n}$ então: $(a^q)^n=a^q...a^q=a^{q+..+q}=a^{nq}=a^m$. Portanto $a^q$ é um número positivo que elevado a potência n resulta $a^m$. Daqui segue dizer que $a^q=\sqrt[n]{a^m}$.
Para qualquer n,m $\in${2,3,4...}. Assim definiremos $a^1$ decorrentemente devemos escolher o valor de $a^1$ de modo que a igualdade (*) também seja verdadeira para o caso em que n ou m seja iguais a 1. Se este é o nosso desejo, em particular, devemos ter: $a^1.a^1=a^{1+1}=a^2=a.a$ logo $a^1.a^1=a.a$. Desta igualdade, também surge a definição natural $a^1=a$.
No caso $a^0$ é análogo( ainda supondo que $a\neq$0 para definir este número é interessante que ele obedeça a propriedade(*). Dessa propriedade, em particular devemos ter: $a^0.a^1=a^{a+1}\rightarrow a^0.a=a$. Esta última implica que $a^0=1$. Portanto as igualdade $a¹=a$ e $a^0=1$ são definidas de maneira a garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para qualquer inteiro n e m positivos ou negativos. Para isto ser verdade em particular devermos ter $a^n.a^{-n}=a{n+(-n)}=a^0=1$. Daqui segue que $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ para todo inteiro positivo n.
Antes de continuar, devemos responder o que acontece nestas definições se tentamos colocar a=0 . Ora, para n inteiro positivo, não existe problema algum $0^n=0$. Por outro lado, se $n\geq 1$ então $0^{-n}$ não está definido pois deveríamos ter $0^{-n}=\frac{1}{0^n}=\frac{1}{0}$ que não existe. Mas ainda, 0 também não está definido pois, por exemplo, neste caso existe o seguinte problema: $0^0=0^{1-1}=0^1.0{-1}=\frac{0}{0}$ e a divisão não é possível.
Até o momento temos uma definição para $a^n$ para todo expoente n inteiro. Agora queremos definir $a^q$ para expoentes racionais. Esta definição também será dada de modo a garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para todos os expoentes n e m racionais. Vejamos:se $q=\frac{m}{n}$ então: $(a^q)^n=a^q...a^q=a^{q+..+q}=a^{nq}=a^m$. Portanto $a^q$ é um número positivo que elevado a potência n resulta $a^m$. Daqui segue dizer que $a^q=\sqrt[n]{a^m}$.
Neste caso, o número $a^q$, para q racional diferente de zero e não-inteiro, está definido apenas para a>0. Caso contrário teremos, no conjunto dos números reais, imppossibilidades como por exemplo:
$(-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$. Por esse motivo, a função exponencial $y=a^x$ está definida apenas para bases a >0.
Observação: a definição de $a^x$ para x irracional é dada por limites: se $(r_n)_ {n\in N}$ é uma seqüência de números racionais convergindo para x , definimos $a^x$ como o limite da sequência $(a^{r_n})_ {n\in N}$.
Propriedades: para quaisquer números reais x e y para, e todo a>0 , temos:
- $a^{x+y}=a^x.a^y$
- $(a^x)^y=a^{xy}$
- $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$
- $(ab)^x=a^xb^x$
8-)
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