Função quadrática - Enem

Função Quadrática

Uma função quadrática, ou de segundo grau, ́e uma função $f: \Re \rightarrow \Re$ cuja lei de formação ́e da forma f (x) = $ax^2 + bx + c$ , onde a, b e c são números reais dados, sendo a = 0. Observe que, se tivéssemos a = 0, obteríamos uma função afim.

Exemplo: A seguir, listamos exemplos de função quadrática e identificamos o coeficiente $x^2$, o coeficiente de x e o termo independente, que chamaremos respectivamente de a,b e c, como acima.

Função quadrática Completa

(a) $f(x)=x^2-5x+6$ : Temos a=1, b=-5 e c=6;

Função incompleta em c

(b) $f(x)=x^2-16x$ : Temos a=1, b=-16 e c=0;

Função incompleta em b 

(c) $f(x)=-2x^2-8$ : Temos a=-2, b=0 e c=-8; 

Dada a função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$, podemos escrever:

$f(x)=ax^2+bx+c=a\large[x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}]$

As duas primeiras parcelas dentro dos colchetes são as mesmas do desenvolvimento do quadrado

$(x+\frac{b}{2a})^2=x^2+\bcancel{2}.x.\frac{b}{\bcancel{2}a}+\frac{b^2}{4a^2}=$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}.$

Agora vamos completar os quadrados:

$f(x)=ax^2+bx+c$

$f(x)=a\large[x^2+2.x.\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]$

ou seja,

$f(x)=ax^2+bx+c=$

$=a\large[(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac-b^2}{4a^2}]$ (forma canônica)

ou ainda

$=a\large[(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac-b^2}{4a}]$ 

Chamado de :

$m=-\frac{b}{2a}$ e $k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

Concluímos que $k=f(m).$

Assim para todo x ∈ ℝ e a≠0 podemos escrever qualquer função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c=$ da seguinte maneira:

$f(x)=a(x-m)^2 +k$, que $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=\frac{4ac-b^2}{4a}$ (outra forma de escrever a forma canônica.

Exemplo, vamos escrever a função

$f(x)=x^2-4x-6=$ na forma canônica.

1ª maneira

completando o quadrado:

$x^2-4x-6=(x^2-4x)-6$

$x^2-4x-6=(x^2-4x+4)-4 -6$

$x^2-4x-6=(x-2)^2-10$

logo,$f(x)=x^2-4x-6=(x-2)^2-10$.

2ª maneira

calculando $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=f(m)$ e substituindo em 

$f(x)=a(x-m)^2+k$

$f(x)=x^2-4x-6=$

dados: a=1; b=-4 e c=-6

como $m=-\frac{b}{2a}$

logo temos

$m=\frac{4}{2}=2$

agora em $k=f(m)$

$k=f(m)=2^2-4.2-6=4-8-6=4-14=-10$⇒

⇒k=-10,

portanto, $f(x)=(x-2)^2-10$

Decorrências da forma Canônica

1ª) Valor mínimo e valor máximo da função

$f(x)=ax^2+bx+c$

consideremos a função quadrática

$f(x)=3x^2-5x+2$.

nesse caso, temos : $m=\frac{5}{6}$ e 

$k=f({\frac{5}{6}})=3.({\frac{5}{6}})^2-5(\frac{5}{6})+2=-\frac{1}{12}$.

na Forma canônica é dada por.

$f(x)=3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}$

Analisando essa forma, podemos concluir que o menor valor de $f(x)$ para todo x ∈ ℝ 

é $-\frac{1}{12}$. Isso ocorre quando $x=\frac{5}{6}$.

De modo geral, da forma canônica:

$f(x)=a(x-m)^2+k$

Concluímos que, para qualquer x ∈ ℝ:

Se a> 0, o menor valor de $f(x)$ é $k=f(x)$;


Se a<0, o maior valor de $f(x)$ é $k=f(m)$.



2ª Zeros da Função quadrática e raízes da equação correspondente

$f(x)= 3x^2-5x+2$⇒

⇒$f(x)=3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}$ (forma canônica)

$3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}=0$⇒$3.(x-\frac{5}{6})^2=\frac{1}{12}$⇒

$(x-\frac{5}{6})^2=\frac{1}{36}$=

$(x-\frac{5}{6})=± \frac{1}{6}$=

x'⇒ |$(x-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}$⇒$x=1$)

x'' ⇒|$(x-\frac{5}{6})=-\frac{1}{6}=\frac{4}{3}$⇒$x=\frac{2}{3}$

Logo,os zeros de $f(x)=3x^2-5x +2$ são 1 e $\frac{2}{3}$, que são também as raízes da equação 

$3x^-5x+2=0$. De modo geral, da forma canônica de

$f(x)=ax^+bx+c$, com a ≠ 0, que é $a(x-m)^2+k$ com $m=-\frac{b}{2a}$, podemos chegar à fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, as raízes da equação do 2º grau $ax^+bx+c=0$. Acompanhe as equivalências: 

$ax^2+bx+c=0⇔a(x-m)^2 +k=0$

$ax^2+bx+c=0⇔a(x-m)^2=-k$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)^2=-\frac{k}{a}$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)=±\frac{√b^2-4ac}{√4a^2}$

$ax^2+bx+c=0⇔(x-m)=±\frac{√b^2-4ac}{2a}$

$ax^2+bx+c=0⇔x=m±\frac{√b^2-4ac}{2a}$

$x=-\frac{b}{2a}±\frac{√b^2-4ac}{2a}$

$x=\frac{-b±√b^2-4ac}{2a}$ (fórmula que fornece as raízes da equação do 2º grau $ax^2+bx+c=0$.

Texto transcrito do Livro Dante Matemática volume único pág 75 à 76.

Procedimento muito útil para estudar a função quadrática é o completando o quadrado. Basicamente o método se resume na observação de que:

$x^2+px=\large(x+\frac{p}{2})^2 -\frac{p^2}{4}.$

Exemplo 1:

$x^2 +10x=x^2+2.5.x+5^2-5^2=(x+5)^2-25$

Exemplo 2:

$3x^2+12x+5=3(x^2+4x)+5=3[(x+2)^2-4]+5=3(x+2)^2-7.$

Genericamente, dada a função quadrática $f(x)= ax^2+bx+c$, escrevemos:

$f(x)= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

é muito importante e conveniente escrevermos $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=\frac{(4ac-b^2)}{4a}$. Verifica-se facilmente que $k=f(m)$. Com esta notação, temos, para todo x∈ℝ:

$f(x)=a(x-m)^2+k$, onde $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=f(m)$.

Esta é chamada forma canônica do trinômio $f(x)= ax^2+bx+c$.

Máximos e mínimos

Voltando à expressão geral $x=a^2+bx+c$ para forma canônica, note que o termo ($x+\frac{b}{{2a}})^2$ é sempre maior ou igual a zero. Assim, quando a > 0, temos que a($x+\frac{b}{{2a}})^2$ $\geq$0 para todo x $\in\,\Re$. Por outro, lado quando a<0 temos que a($x+\frac{b}{{2a}})^2$ $\leq$ 0 para todo x$\in\,\Re$. De qualquer modo, como a$\neq$0 em ambos os casos, a igualdade ocorre somente para $x+\frac{b}{{2a}}=0$ isto é, quando $x=-\frac{b}{{2a}}$.

$f(x)=a(x+\frac{b}{{2a}})^2 -\frac{\Delta}{{4a}}\geq -\frac{\Delta}{{4a}}$, com igualdade se e só se $x=-\frac{b}{{2a}}$

Podemos, então, enunciar o resultado a seguir, o qual explica quando funções quadráticas atingem valores máximos ou mínimos, e em que ponto(s) o fazem.

Se a > 0, então o valor mínimo da função $f(x) = ax^2 +bx+c$ , ao variarmos x em $\Re$, é

obtido somente quando $x = −\frac{b}{{2a}}$ . Ademais, esse valor mínimo é igual a −$\frac{\Delta}{{4a}}$.

Se a < 0, então o valor máximo da função $f(x)=ax^2 +bx+c$ , ao variarmos x em $\Re$, é

obtido somente quando $x = −\frac{b}{{2a}}$ . Ademais, esse valor m´aximo ´e igual a $−\frac{\Delta}{{4a}}$.

O resultado acima é bastante importante em aplicações.

A fim de tornar patente tal importância, examinamos alguns exemplos a seguir, a começar por uma aplicação mais simples.

Fonte: Material do Portal OBMEP

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