Lógica - Detran-PA

CONCEITOS INICIAIS DE LÓGICA 

Algumas das principais características da Matemática são: a abstração, o rigor lógico e a diversidade de suas aplicações.

A lógica matemática está sempre presente nos editais dos concursos a nível federal, por isso é muito importante conhecer os conceitos básicos da lógica, não só para estudar, compreender e produzir Matemática, mas também, para utilizá-la em muitas outras situações.

Os fundamentos da lógica foram introduzidos na Grécia antiga por Aristóteles, um dos filósofos mais importantes da antiguidades.

As obras de Aristóteles, que versam sobre lógica, foram reunidas em um livro que recebeu o nome de Organon, que significa instrumento.

CONCEITO DE PROPOSIÇÃO

Vamos a um conceito básico, em função de ter encontrado diversos conceitos:

“Chama-se proposição toda sentenças declarativas que admite um dos dois valores lógicos: Falso (F) ou Verdadeiro (V), mas não as duas valorações”.

A língua portuguesa, assim como outras línguas, é formada por palavras, sentenças, numa teia sutil e complexa. Expressar-se com clareza e precisão não é tarefa fácil. De forma geral, podemos classificar as sentenças de uma língua da seguinte forma:

Declarativas

• Hoje é domingo
• Eu não saí de casa o dia todo.

Interrogativas

• Quem vem lá?
• Qual é o seu nome?

Exclamativas

• Lógico!
• Viva!

Imperativas

• Não matarás
• Feche a porta

Sentenças matemática

A matemática pode ser expressa por sentenças. Por exemplo,

$\pi$ > 3 e Seno$\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$
São sentenças matemáticas.

Sob o ponto vista da lógica devemos lidar com as sentenças declarativas, às quais podemos atribuir valor-verdade, isto é, cada sentença será verdadeira ou falsa.


Exemplo 1


Leias as seguintes sentenças. Algumas são verdadeiras e outras são falsas:


1. A grama é verde.


2. Dezembro tem 31 dias.


3. Uma semana tem 8 dias.


4. O Sol é uma estrela.


5. O verão é a estação mais fria do ano.


Alguns exemplos de sentenças às quais não podemos atribuir valor-verdade:


1. Vá devagar!


2. Quanto Custa este livro?


3. Fulana é carioca.


A primeira delas é uma ordem(ou pedido) e a segunda é uma pergunta. A terceira é uma caso interessante. Quando usamos a palavra “fulano” ou “fulana”, em geral não estamos considerando uma pessoa específica. Para decidirmos se a sentença é verdadeira ou falsa, precisaremos personalizar a fulana. Dependendo de quem for “fulana”, a sentença terá seu valor-verdade definido. Uma situação parecida pode surgir ao contexto matemático. A frase

X+3=11

Pode ser verdadeira (caso o valor de x seja 8) ou pode ser falsa ( caso x seja diferente de 8).


FUNÇÕES PROPOSICIONAIS

Expressões que contém uma ou mais variáveis, são chamadas de funções proposicionais. Quando as variáveis são substituídas por constantes, a expressão torna-se uma proposição ( verdadeira ou falsa, conforme as constantes atribuídas).


Por exemplo, “ x é um homem”. Essa função proposição proposicional torna-se uma proposição verdadeira se x = Sócrates e falsa se x=Argos. Estas expressões também podem ser chamadas de sentenças abertas.

AXIOMAS E TEOREMAS

Distinguir o falso do verdadeiro é o objetivo fundamental na Matemática. A lógica aqui tem um papel central. Dito de outro modo, usando as regras da lógica, provamos quando uma determinada sentença ´e verdadeira ou falsa. Neste esquema, partimos de um conjunto inicial de sentenças básicas, que consideramos verdadeiras (as quais chamamos axiomas) e, usando as regras definidas pela lógica (que são as regras do jogo), provamos a veracidade de novas sentenças. Estas novas sentenças verdadeiras são chamadas teoremas e podem também ser usadas na demonstração de novos teoremas. É desta maneira maneira que engendramos a teia que forma a Matemática.

Em lógica consideramos apenas as sentenças que podem ser qualificadas como falsas ou verdadeiras. Tais sentenças serão chamadas de proposições. Usamos letras minúsculas, como p ou q, para representar proposições.




A palavra proposição também é usada em Matemática, fora do contexto estrito da lógica, como sinônimo de teorema. 

Resumindo:

Não são proposições: frases exclamativas, interrogativas, opinativas, as expressões de desejo, as expressões de sentimentos, as interjeições, orações imperativas, e aquelas que contenham variáveis (sentenças abertas).

A partir daí, podemos encontrar alguns princípios que devem sempre ser observados:


1) Princípio da Identidade: Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira. Uma proposição falsa é sempre falsa.

2) Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

3) Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores lógicos, isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F), não podendo ter outro valor. Não há meio termo.


CONECTIVOS E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

Algumas palavras e certas expressões são usadas insistentemente nos textos matemáticos. Bons exemplos são os conectivos “e” e “ou”. Usando estes dois conectivos e fazendo também a negação, podemos construir novas proposições a partir e outras proposições dadas inicialmente. Estas novas proposições são chamadas de proposições compostas.

Usando duas proposições p e q podemos construir uma nova proposição, chamada de conjunção de p e q.

Usamos o símbolo,

p ∧ q (“ Lê-se p "e" q”)

Para denotá-la a sentença p ∧ q é verdadeira caso ambas, p e q, seja vedadeiras. Em qualquer outra situação ela será falsa.


Exemplo 2

Apenas uma das sentenças abaixo é falsa. Qual é ....

· A noite é escura e o dia é claro.

· A rosa é vermelha e o cravo é banco.

· √16 é igual a 4 e 187 é um número primo.

Uma vez que 187 é igual a 11x17, a proposição “187 é um número primo” é falsa e, apesar de “√16 é igual a 4” ser verdadeira a proposição composta “√16 é igual a 4 e 187 ser um número primo”

Caixa de texto: A partir de duas proposições p e q também podemos construir a proposição composta p ou q, chamada de disjunção de p e q. Usamos o símbolo 

 
p ∨ q para representa´-la. A proposição p ∨ q é verdadeira caso alguma das proposições p ou q seja verdadeira. Ela será falsa apenas quando ambas proposições p e q forem falsas.

Exemplo 3

A proposição composta “√16 é igual a 4 ou 187 é um número primo” é verdadeira.


Outro exemplo:

podemos afirmar que a proposição:

π é > 3 um número irracional ou $\frac{1}{3}$ >$\frac{1}{2}$

é verdadeira, baseando-se apenas no fato de que π é um número irracional.

Atenção! Lembre-se de que, como já foi dito na unidade de Teoria de Conjuntos, o “ou” em Matemática não é exclusivo.Finalmente, podemos gerar uma nova proposição a partir de uma inicial, simplesmente negando-a.

Usamos a notação

∼ p, (“lê-se não p”)

para indicar a negação da proposição p.

As proposições p e ∼ p têm valores-verdade opostos.

Este fato conhecido como o Princípio da Contradição.

Quando Aristóteles criou a lógica, ele estabeleceu uma série de princípios, isto é, as regras básicas sobre as quais toda a lógica seria desenvolvida. Estes princípios são:

· Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.


· Princípio da Contradição: O contrário do verdadeiro é falso.


· Princípio do Terceiro Excluído: De duas proposições contraditórias uma é verdadeira e a outra é falsa

Duas proposições são contraditórias quando uma é a negação da outra. A palavra princípio provém do grego αρχη (arqué, como em arquétipo) e do latim principium e quer dizer ponto de partida e fundamento de um processo qualquer. Ela é muito usada na filosofia e na linguagem científica. Em Matemática, pode ser usada como sinônimo de axioma e, neste caso, é uma proposição cuja veracidade não requer demonstração, como no princípio da Identidade, da Contradição e do Terceiro Excluído, enunciados anteriormente.

A Física também usa esta palavra neste sentido, como em “Princípio da Indeterminação de Heisenberg”, proposto em 1927 por Werner Heisenberg e faz parte da teoria quântica. Esta teoria é bastante complicada, mas ela explica o comportamento dos átomos. O Princípio da Indeterminação diz que a posição e a velocidade das partículas atômicas não podem ser conhecidas ao mesmo tempo e com precisão.

A palavra princípio também pode ser usada como sinônimo de teorema, como no Princípio da Inclusão-Exclusão, enunciado, trata-se de uma afirmação que deve ser demonstrada.

Quantificadores

Vamos aprender agora mais um pouco do jargão matemático. Falare-mos sobre quantificadores. Os quantificadores são expressões que aparecem, em geral, no início das frases matemáticas, cuja função é indicar o universo sobre o qual será feita a afirmação. Exemplos: “para todo”, “cada”, “existe um”, “existe uma”, “não existe algum”, “não existe alguma”, “nenhum”, “nenhuma”, “qualquer um”, “qualquer uma” ...

Exemplo 4

As seguintes proposições têm o mesmo significado:

• Todo mundo é racional.

• Todas as pessoas são racionais.

• Cada pessoa é racional.

• Qualquer pessoa é racional.

Exemplo 5


∀α ∈ R, sen$^2$α + cos$^2$α = 1.

Esta proposição é verdadeira.

Caixa de texto: O seguinte exemplo apresenta o quantificador existencial. Mais uma vez, todas as proposições abaixo têm o mesmo significado.

Exemplo 6


• Alguma pessoa é bonita.


• Existe pessoa bonita.


• Pelo menos uma pessoa ´e bonita


Exemplo 7


∃α ∈ | sen α = 1.


Esta afirmação é verdadeira?


A resposta é sim. O seno do ângulo reto, por exemplo, é 1. Isto pode ser expresso da seguinte maneira: sen$\frac{\pi}{2}$= 1.


Os quantificadores universal e existencial são trocados um pelo outro quando fazemos a negação de uma proposição iniciada por um deles. Veja como funciona num exemplo:

Exemplo 8


A negação da proposição

p : Todo aluno é estudioso.

é

∼ p: Existe aluno não estudioso

Uma outra maneira de enunciar a proposição ∼ p seria: há aluno que não é estudioso. Numa maneira tipicamente matemática seria: existe pelo menos um aluno não estudioso.

Atenção! A proposição q: “Nenhum aluno é estudioso” não é a negação de p.

Note a importância do quantificador usado na formação da proposição.

As proposições:

∀ x ∈ ℝ, $x^2$ = 2

e
∃ x ∈ ℝ | $x^2$= 2


(Para todo x em ℝ, $x^2$ = 2)


são diferentes.


Resumindo

Quantificadores: O quantificador universal é representado pelo símbolo ∀, que lê-se: “Para todo ... ”; o quantificador existencial é representado pelo símbolo ∃, que lê-se: “Existe ...” Estes quantificadores são trocados um pelo outro quando fazemos a negação de uma proposição.

Atenção! Estamos chegando ao fim da aula. Bem, você está começando a perceber como a linguagem é importante. Matemática é muito sutil, pois um pequeno detalhe pode mudar completamente o sentido da proposição. Por exemplo, uma proposição do tipo p ∨ q pode ser verdadeira ao mesmo tempo que p ∧ q é falsa. Isto significa uma simples troca de um “ou” por um “e”. Precisamos estar atentos ao que dizemos, ao que o texto diz e, principalmente, a como devemos nos expressar.

Agora é hora de relaxar um pouco antes de seguir para a lista de exercícios. Você conhece aquela do engenheiro, do físico e do matemático? Os três amigos, um engenheiro, um físico e um matemático, estavam viajando de trem para o interior de São Paulo. Depois que o trem passou por Rio Claro, eles avistaram uma colina verdejante com uma linda vaca preta pastando. O engenheiro, que estava um pouco aborrecido com o papo um tanto abstrato de seus dois amigos, aproveitou para fazer o seguinte comentário: vejam, as vacas aqui são pretas! O físico olhou pela janela e retrucou: calma, aí! As vacas deste morro são pretas... O matemático lançou um olhar de censura sobre seus dois amigos e disse, balançando a cabeça, para enfatizar: nada disso, caríssimos! O que realmente podemos afirmar é que neste morro há uma vaca com o lado direito preto...

Exercícios

1. Determine quais das frases abaixo são proposições:


· Cenouras são saudáveis.


· O Brasil é um país tropical.


· Todos os homens são astutos.


· Faça as malas.


· A paciência é uma virtude.


· Debussy compôs duas sinfonias.


· A paciência é um jogo.


· Para todo mal há cura.


· Todo mundo tem um segredo.


· Não fume!


· Todo amor é forte.


· Quantos anos você tem?


· O quadrado de cada número é não negativo.


· Que calor!


· Antônio Carlos Jobim, o Tom Jobim, é um compositor brasileiro.


· Quanto custa esta mesa?


2. Construa a negação de cada uma das seguintes proposições:


· A pera é uma fruta.


· Algumas óperas são longas.


· Todos gostam de dançar.


· Algumas pessoas não têm carro.


· Todos têm televisores e aparelhos de vídeo.


· O dinheiro não traz a felicidade.


· Todo desfile de escola de samba tem mestre-sala e porta-bandeira.


· Dom Quixote é um personagem criado por Miguel de Cervantes.


· Todo amor é forte.


· Nenhum amor é fraco.


Resumo da Ópera


Nesta aula você aprendeu que:

1. em lógica, lidamos com proposições que são sentenças declarativas, cada uma delas possuindo um valor-verdade, verdadeiro ou falso. A representação das proposições se faz por letras minúsculas como p, q etc.;

2. para cada proposição p corresponde a sua negação: ∼ p. As proposições p e ∼ p têm valores-verdade opostos;

3. dadas duas proposições p e q, podemos construir duas outras proposições;

p ∧ q (conjunção, p e q )

p ∨ q (disjunção, p ou q).

1. Em Matemática usamos dois quantificadores:

∀(universal, qualquer que seja ... )

∃ (existencial, existe um ... )

Estes quantificadores trocam de papéis quando fazemos a negação de uma proposição.

Artigo Transcrito do Consórcio CEDERJ -

Autores Luiz Manoel Figueiredo

Mário Oliveira da Silva

MArisa Ortegoza da Cunha

Faremos continuação deste artigo na próxima aula um abraço à todos concurseiros!