Probabilidade 2 - DETRAN 2019

Por : Paulo Cezar Pinto Carvalho(obmep-Apostila2)

Probabilidade 2

Uma das principais aplicações das técnicas de contagem é a resolução de problemas simples de Probabilidade. O interesse dos matemáticos no estudo sistemático de probabilidades é relativamente recente e tem suas raízes no estudo dos jogos de azar. Um problema clássico, que tem origem em autores do século XV e que despertou o interesse de autores como Pascal e Fermat, é o
Problema dos pontos:

Dois jogadores apostaram R\$ 10,00 cada um em um jogo de cara-e-coroa, combinando que o primeiro a conseguir 6 vitórias ficaria com o dinheiro da aposta. O jogo, no entanto, precisa ser interrompido quando um dos jogadores tem 5 vitórias e o outro tem 3. Qual é a divisão justa da quantia apostada?


(Para um “clássico moderno”, veja o exercício 9, que provocou grande discussão na internet alguns anos atrás). Parece razoável que a quantia apostada seja dividida de forma proporcional à chance (o u probabilidade) de vitória de cada jogador. O cálculo dessas probabilidades se baseia, como veremos mais adiante, na hipótese de que a moeda seja honesta, ou seja, de que haja iguais chances, em um lança mento, de sair cara ou coroa. Esta crença, por sua vez, corresponde à seguinte ideia intuitiva: em uma sequência longa de lançamentos, esperamos observar, aproximadamente, o mesmo número de caras e coroas.


De modo mais geral, suponhamos que um determinado experimento tenha n resultados possíveis $ω_1$ , $ω_2$ , . . . , $ω_n$ ; o conjunto Ω desses possíveis resultados é chamado de espaço amostral. Suponhamos, ainda, que julguemos que, ao repetir o experimento um grande número de vezes, esperemos que o resultado $ω_i$ ocorra em uma certa fração $p_i$ das realizações do experimento. Dizemos, então, que a probabilidade de se observar $ω_i$ é igual a $p_i$. Evidentemente, devemos ter $p_i$ ≥ 0 para cada i e, além disso, $p_1$ + · · · + $p_n$= 1 . Uma vez estabelecidos os valores para as probabilidades de cada resultado possível, podemos definir a probabilidade de qualquer evento A (ou seja, de qualquer subconjunto de Ω ) como a soma das probabilidades dos resultados em A. Mas como encontrar os valores das probabilidades $p_i$? No caso geral, esses valores são obtidos de forma experimental. Mas há certos casos em que é razoável supor que todos os resultados são igualmente prováveis e que, portanto, a probabilidade de cada um deles é igual a $\frac{1}{n}$. Por exemplo, ao lançar um dado perfeitamente cúbico não há nenhuma razão para esperar que uma face apareça com mais frequência que qualquer das outras. Logo, a probabilidade associada a cada face é igual a $\frac{1}{6}$. Modelos probabilísticos que têm esta característica são chamados de equiprováveis e estão frequentemente associados a jogos de azar. Nos modelos probabilísticos equiprováveis, a probabilidade associada a um evento A com p elementos é igual a p· $\frac{1}{n}$=$\frac{p}{n}$. Muitas vezes se exprime este fato dizendo que a probabilidade de um evento é igual à razão entre o número de casos favoráveis ao evento e o número de casos possíveis.

Exemplo 1.

Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lançar um dado honesto?


Solução:

O espaço amostral é Ω ={1,2,3,4,5,6}, com todos os resultados tendo probabilidade $\frac{1}{6}$. Desejamos calcular a probabilidade do evento A = {5,6}, que é dada por P(A) = 2×16=13.

Exemplo 2.

Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5?

Solução:

O espaço amostral é formado por todos os pares de resultados possíveis. Como em cada lançamento há 6 possibilidades, o número de casos possíveis é 6 ×6 = 36, todos com a mesma probabilidade de ocorrência. Destes, aqueles em que a soma é 5 são (1,4),(2,3),(3,2) e (4,1). Logo, o número de casos favoráveis ao evento é 4, e sua probabilidade é $\frac{4}{36}$= $\frac{1}{9}$.

Exemplo 3.

Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas?

Solução:

Precisamos, antes de mais nada, encontrar um espaço amostral apropriado para descrever os resultados dos experimentos. Como tudo o que observamos é a cor de cada bola retirada (as bolas de mesma cor são indistinguíveis entre si), poderíamos ser tentados a escolher o espaço amostral {vv, vp, pv, pp}, formado pelos pares de cores observadas. Essa escolha não está errada, mas não é conveniente para a solução do problema. O que ocorre é que o modelo probabilístico baseado nesse espaço amostral não é equiprovável (é óbvio, por exemplo, que duas bolas vermelhas saiam com mais frequência que duas
bolas pretas, já que há mais bolas vermelhas). Para obter um espaço equiprovável, devemos considerar individualmente as 9 bolas presentes na urna. Ou seja, o espaço amostral é o conjunto de todos os pares de bolas distintas, que tem 9×8 = 72 elementos. Como todas as bolas são iguais (ao menos na cor), todos esses pares têm a mesma probabilidade de sair. Para calcular o número desses pares e m que ambas as bolas são vermelhas, devemos observar que a primeira bola vermelha pode ser escolhida de 5 modos, enquanto a segunda pode ser qualquer uma das 4 restantes. Logo, o número de casos favoráveis é igual a 5 × 4 = 20. Portanto, a probabilidade de que sejam retira das duas bolas vermelhas é igual a $\frac{20}{72}$ =$\frac{5}{18}$.

Exemplo 4.

Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4 vezes.Pedro apostou que, nesses 4 lançamentos, não apareceriam 2 caras seguidas; João aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar a aposta?

Solução:

O espaço amostral apropriado é formado por todas as sequências possíveis de resultados. Como em cada lançamento sai cara (C) ou coroa(K), há 2 possibilidades; logo, o número total de possibilidades é igual a 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Todas essas sequências têm a mesma probabilidade de ocorrência, já que o resultado de um lançamento não afeta os demais e há a mesma chance de sair cara ou coroa.

Vamos verificar quais dessas sequências levam à vitória de Pedro.

– Se só saírem coroas (KKKK), é claro que Pedro vence.
– Se só sair uma cara (CKKK, KCKK, KKCK, KKKC), Pedro também vence.
– Com duas caras, Pedro vence nos casos KCKC, CKCK e CKKC.
– Quando saem três ou mais caras, Pedro perde.

Logo, o número de sequências favoráveis a Pedro é igual a 8, e sua probabilidade de vitória é igual a $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{2}$. Portanto, Pedro e João têm a mesma chance de vitória.

Exemplo 5.

Qual é a forma justa de dividir os R$ 20,00 apostados no problema dos pontos?

Solução:

O jogador I tem 5 vitórias, faltando apenas uma para vencer o jogo. O jogador
II tem apenas 3 vitórias, necessitando 25 de mais 3 para vencer.  Portanto, para que II vença, ele tem que vencer três partidas seguidas.  Há 2 × 2 × 2 = 8 possibilidades para os resultados dessas partidas, e apenas um destes é favorável à vitória de II.  Logo, II vence com probabilidade $\frac{1}{8}$ , enquanto a probabilidade de vitória de I é $\frac{7}{8}$. Logo,I deve ficar com R\$ 17,50 e II com R\$ 2,50.

Uma possível objeção quanto à solução acima é o fato de construirmos nosso espaço amostral com base nas três partidas restantes, quando o jogo pode, na verdade, terminar em uma, duas ou três partidas. Fizemos isto para obter um espaço amostral para o qual o modelo é equiprovável. Note que usar esse espaço amostral é equivalente a supor que, mesmo que I tenha vencido na primeira ou segunda partida, eles continuam a disputar, como “amistosos”, as partidas seguintes.

É claro que isso não modifica em nada as chances de vitória de cada jogador.Vimos acima que a ideia intuitiva de probabilidade de um evento está ligada à frequência observada desse evento quando o experimento é realizado um grande número de vezes. Essa relação pode ser estabelecida de modo preciso, através de um teorema conhecido como a Lei dos Grandes Números.  Embora, por vezes, ela não seja muito bem entendida (veja, por exemplo, o exercício 7), a Lei dos Grandes Números é um instrumento fundamental para estabelecer uma via de mão dupla entre modelos probabilísticos teóricos e os experimentos aleatórios.

Consideremos, novamente, o exemplo 5. Uma forma de se ter uma ideia da resposta do problema seria utilizar uma simulação da situação pretendida. Essa simulação é repetida um grande número de vezes e, através da frequência de vitórias de cada jogador, estimaríamos sua probabilidade de vitória. A simulação pode ser feita manualmente,usando uma moeda (é uma atividade apropriada para sala de aula: cada aluno repete o experimento algumas poucas vezes e, reunindo todos os resultados, temos uma quantidade razoável de repetições).

É possível, também, fazer a simulação com auxílio de um computador,através da geração de números aleatórios. A tabela abaixo mostra o resultado obtido simulando 100 realizações do jogo.

Ajude nosso Blog para sempre atualizarmos!