Transformações Lineares - LIcenciaturas & Engenharias

Transformações Lineares

Introdução

Definição (Transformação linear): Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação

linear é uma função de V em W, T : V $\rightarrow$ W, que satisfaz as seguintes condições:

i) Quaisquer que sejam u e v em V ,

T(u + v) = T(u) + T(v)

ii) Quaisquer que sejam k $\in$ $\mathbb{R}$ e v $\in$ V ,

T(kv) = kT(v)

Observação: Uma transformação linear de V em V é chamada operador linear sobre V .

Exercício : Verifique se as aplicações constituem transformações lineares:

a) T : V $\rightarrow$V definida por T(v) = 0

b) T : V $\rightarrow$V definida por T(v) = v

c) T : V$\rightarrow$V definida por T(v) = $\alpha$v
d) T : $\mathbb{R}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ definida por T(x) = 3x + 1
e) T : $\mathbb{R}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ definida por T(x) = $x^2$
f) T : $\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ definida por T(x; y) = x + y
g) T : $\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}^3$ definida por T(x; y) = (2x; 0; x + y)
h) T : $\mathbb{R}^3$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}^2$ definida por T(x; y; z) = (x; y)

Encontrando transformações lineares a partir das imagens de vetores de uma base

Teorema: Dados dois espaços vetoriais reais V e W e uma base {$v_1$...,$v_n$} de V ,
sejam $w_1....,w_n$ elementos arbitrários de W. Então existe uma única aplicação linear
T : V $\rightarrow$ W tal que T($v_1$) = $w_1$,.... ,T($v_n$) = $w_n$.
Esta aplicação é dada por:

se v = $a_1v_1$ +...+ $a_nv_n$,
T(v) = T($a_1v_1$ +...+ $a_nv_n$)
T(v) = $a_1T(v_1)$ + ,....,+ $a_nT(v_n)$
T(v) = $a_1w_1$ + .... + $a_nw_n$

Exercício: Qual é a transformação linear T : $\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}^3$ tal que T(1; 0) = (2;-1; 0) eT(0; 1) = (0; 0; 1)?


Exercício: Qual é a transformação linear T : $\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}^3$ tal que T(1; 1) = (3; 2; 1) e T(0;-2) = (0; 1; 0)?