Subespaços Vetoriais

Subespaços Vetoriais

Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é
um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:
1. W≠ 6= ∅.
2. u + v ∈ W, para todos u, v ∈ W .
3. $\alpha$ u ∈ W, para todo a ∈ R e u ∈ W .
Observações 2.9 1. Qualquer subespaço W de V contém o vetor nulo 0, pois quando
$\alpha$ = 0, temos que
0 = 0u ∈ W.
2. Pode ser provado que, se admitirmos estas duas propriedades em W, as oito propriedades
de espaço vetorial são válidas em W. Desta forma, W é também um
espaço vetorial com as propriedades herdadas de V .
3. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços, a saber, {0} e V , chamados
de subespaços triviais ou impróprios. Os demais subespaços de V são chamados
de subespaços não-triviais ou próprios.
Exemplo 2.10 Sejam V = $R^n$ e
W = {($x_1, . . . , x_n$) ∈ V : $x_1$ = 0}
= {(0, $x_2$, . . . , $x_n$) : $x_2$, . . . , $x_n$ ∈ R}.
Então W é um subespaço de V .
Solução. É claro que W≠ 6= ∅, pois
0 = (0, . . . , 0) ∈ W.
Dados u, v ∈ W e $\alpha$ ∈ R. Como u, v ∈ W temos que
u = (0, $x_2$, . . . , $x_n$) e v = (0, $y_2$, . . . , $y_n$)
Logo,
u + v = (0+0, $x_2$ + $y_2$, . . . , $x_n$ + $y_n$)
= (0, $x_2$ + $y_2$, . . . , $x_n$ + $y_n$) ∈ W
e
au = ($a_0$, $ax_2$, . . . , $ax_n$)
= (0, $ax_2$, . . . , $ax_n$) ∈ W.
Portanto, W é um subespaço de V .