Matrizes para o ENEM

Definição

Uma matriz real A de ordem $m × n$ é uma tabela de múmeros reais, dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n são números inteiros positivos. Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por $A_{m×n} \Re$ . Neste curso, como só trabalharemos com matrizes reais, usaremos a notação simplificada $A_{m×n}$, que se lê “A m por n”. Também podemos escrever A = ($a_{ij}$), onde i $\in$ {$1, ...,m$} é o índice de linha e j $\in$ {1, ..., n} é o índice de coluna do termo genérico da matriz. Representamos o conjunto de todas as matrizes reais “m por n”por $M_{m×n} \Re$ . Escrevemos os elementos de uma As barras simples são usadas matriz limitados por parênteses, colchetes ou barras duplas.

Exemplo

1. Uma matriz ${3 \times 2}$ :

$\left ( \begin{array}{ccc} 1 & 10\\ 2 & 11\\ 10 & 20\\ \end{array} \right)$

2. Uma matriz ${2 \times 2}$ :

$\left ( \begin{array}{ccc} 3 & 4\\ 5 & 15\\ \end{array} \right)$

3. Uma matriz ${3 \times 1}$ :

$\left ( \begin{array}{c} -3 \\ 5 \\ 1\\ \end{array} \right)$

De acordo com o número de linhas e colunas de uma matriz, podemos destacar os seguintes casos particulares:

• m = 1: matriz linha

• n = 1: matriz coluna

• m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas $A_n$ e dizemos que “A é uma matriz quadrada de ordem n”. Representamos o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n por $M_n\Re$ (ou, simplesmente,por $M_n$).

Exemplo 2 1. Uma matriz ${1 \times 4}$ :

$\left ( \begin{array}{cccc} 1 & 10& 5& 7\\ \end{array} \right)$

2. Uma matriz ${3 \times 1}$ :

$\left ( \begin{array}{c} 1 \\ 10\\ 17\\ \end{array} \right)$

3. matriz quadrada de ordem 2: $\left ( \begin{array}{cc} 1&22 \\ 10&11\\ \end{array} \right)$

Os elementos de uma matriz podem ser dados também por fórmulas, como ilustra o pr´oximo exemplo.

Exemplo 3

Vamos construir a matriz A$\in M_{2 \times 4}(\Re)$

$$a_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll} i^2 + j& \mbox{se $i \doteq j$};\\ i-2j & \mbox{se $i \neq j$}.\end{array} \right.$$

A matriz procurada é do tipo A= $\left ( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ \end{array} \right)$

Seguindo a regra de formação dessa matriz, temos:

$a_{11}=1^2+1=2$

$a_{22}=2^2+2=6$

$a_{12}=1-2(2)=-3$

$a_{13}=1-2(3)=-5$

$a_{14}=1-2(4)=-7$

$a_{21}=2-2(1)=0$

$a_{23}=2-2(3)=-4$

$a_{24}=2-2(4)=-6$

Logo, A= $\left ( \begin{array}{cccc} 2&-3&-5&-7 \\ 0&6&-4&-6 \\ \end{array} \right)$

Igualdade de matrizes O próximo passo é estabelecer um critério que nos permita decidir se duas matrizes são ou não iguais. Temos a seguinte definição: Duas matrizes A,B $\in$ $M_{m\times n}\Re$, A = $(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$, são iguais quando $a_{ij}=b{ij}$, $\forall$ i $\in$ ${1,\ldots ,m}$, $\forall$ j $\in$ ${1, \ldots, n}$.

Exemplo 4

Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes $\left ( \begin{array}{cc} 2a&3b \\ c + d&6 \\ \end{array} \right)$ e $\left ( \begin{array}{cc} 4&-9\\ 1&2c \\ \end{array} \right)$

$\left ( \begin{array}{cc} 2a&3b \\ c + d&6 \\ \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{cc} 4&-9\\ 1&2c \\ \end{array} \right)$$\Rightarrow$ $$\left\{ \begin{array}{ll} 2a&= \,4\\ 3b&=\,-9\\ c + d&= \,1\\ 6&= \,2c\\\end{array} \right.$$

Daí, obtemos a = 2, b = -3, c = 3 e d = -2.

Numa matriz quadrada A = ($a_{ij}$), i,j ¸ {1,$\ldots$ n}, destacamos os seguintes elementos:

• diagonal principal: formada pelos termos $a_{ii}$ (isto é, pelos termos com índices de linha e de coluna iguais).

• diagonal secundária: formada pelos termos $a_{ij}$ tais que i + j = n.

Exemplo 5

Seja

$\left ( \begin{array}{cccc} 3&-2&0&1 \\ 5&3&-2&7 \\ \frac{1}{2}&-3&\pi&14 \\ -5&3&-1&6 \\ \end{array} \right)$

A diagonal principal de A é formada por: 3, 3, $\pi$ , 6

A diagonal secundária de A é formada por: 1,.2,.3,.5

Matrizes quadradas especiais

No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar alguns tipos especiais. Seja A = ($a_{ij}$) ¸ $M_{n}$($\Re$). Dizemos que A é uma matriz

• triangular superior, quando $a_{ij}$ = 0 se i > j (isto é, possui todos os elementos abaixo da diagonal principal nulos).

• triangular inferior, quando $a_{ij}$ = 0 se i < j (isto é,, possui todos os elementos acima da diagonal principal nulos).

• diagonal, quando $a_{ij}$ = 0 se i $\neq$ j (isto é,, possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal é, ao mesmo tempo, triangular superior e triangular inferior.

• escalar, quando $a_{ij}$ $$\left\{ \begin{array}{ll} 0&se\, i\neq j\\ k&se\, i=j \\\end{array} \right.$$ , para algum k $\in$$\Re$. Isto é, uma matriz escalar é diagonal e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a um certo escalar k.

• identidade, quando $a_{ij}$ $$\left\{ \begin{array}{ll} 0&se\, i\neq j\\ 1&se\, i=j \\\end{array} \right.$$ . Isto ´e, a identidade é uma matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por $I_n$.

Exemplo 6

classificação

Uma matriz é dita triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.

$\left ( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n} \\ 0 &a_{22}&\ldots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\ldots&a_{nn} \\ \end{array} \right)$

Se os elementos acima da diagonal principal são nulos, então a matriz é dita triangular inferior.

$\left ( \begin{array}{cccc} a_{11}&0&\ldots&0 \\ a_{21} &a_{22}&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn} \\ \end{array} \right)$

A matriz nula é uma matriz em que todos os elementos são nulos.

$\left ( \begin{array}{cccc} 0&0&\ldots&0 \\ 0 &0&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\ldots&0 \\ \end{array} \right)$

Exemplo 7

São matrizes identidade:

$I_1$=[1]

$I_2$= $\left ( \begin{array}{cc} 1&0 \\ 0 &1\\ \end{array} \right)$

$I_3$= $\left ( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0 &1&0\\ 0 &0&1\\ \end{array} \right)$

$I_4$= $\left ( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0 &1&0&0\\ 0 &0&1&0\\ 0 &0&0&1\\ \end{array} \right)$

De modo geral, sendo n um n´umero natural maior que 1, a matriz

identidade de ordem n é:

$I_n$= $\left ( \begin{array}{cccccc} 1&0&0&\ldots&0&0 \\ 0&1&0&\ldots&0&0 \\ 0&0&1&\ldots&0&0 \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ 0&0&01&\ldots&1&0 \\ 0&0&01&\ldots&01&1 \\ \end{array} \right)$

Definição A matriz nula em $M_{m\times n}(\Re)$ ´e a matriz de ordem m × n que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplo 8

Matriz nula $2\times3$:

$\left [ \begin{array}{ccc} 0&0&0 \\ 0 &0&0\\ \end{array} \right]$

Matriz nula 5 × 2:

$\left [ \begin{array}{cc} 0&0 \\ 0 &0\\ 0&0 \\ 0 &0\\ 0 &0\\ \end{array} \right]$

Matriz Oposta

Definição Dada A = ($a{ij}$) $\in$ $M_{m\times n}(\Re)$, a oposta de A é a matriz B = ($b{ij}$) $\in$ $M_{m\times n}(\Re)$ tal que $b_{ij}$ = $-a_{ij}$ , $\forall$ i $\in$ {1,$\ldots$ ,m},$\forall$ j $\in$ {1, $\ldots$ , n}. Ou seja, os elementos da matriz oposta de A s.ao os elementos opostos aos elementos de A. Representamos a oposta de A por -A.

Exemplo 9

A oposta da Matriz $A=\left [ \begin{array}{ccc} 3&-1 &0\\ 2&\sqrt{3} &4\\ 12&0 &-8\\ -6&10&-2\\ \end{array} \right]$

é a Matriz:

$-A=\left [ \begin{array}{ccc} -3&1 &0\\ -2&-\sqrt{3} &-4\\ -12&0 &8\\ 6&-10&2\\ \end{array} \right]$